平行四辺形OABCにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をD、辺ABを2:1に外分する点をEとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明せよ。

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6. の問題

1. 問題の内容

平行四辺形OABCにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をD、辺ABを2:1に外分する点をEとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、点Dと点Eの位置ベクトルを$\vec{a}$と$\vec{c}$を用いて表す。

点Dは線分ACを2:1に内分するので、

$$\vec{OD} = \frac{1 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OC}}{2+1} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{c}$$

点Eは線分ABを2:1に外分するので、

$$\vec{OE} = \frac{-1 \cdot \vec{OA} + 2 \cdot \vec{OB}}{2-1} = - \vec{a} + 2 \vec{OB}$$

ここで、OABCは平行四辺形であるから、$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC} = \vec{a} + \vec{c}$である。

$$\vec{OE} = - \vec{a} + 2 (\vec{a} + \vec{c}) = \vec{a} + 2 \vec{c}$$

次に、$\vec{OE}$が$\vec{OD}$のスカラー倍で表せることを示す。

$$\vec{OE} = \vec{a} + 2 \vec{c} = 3 \left( \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{c} \right) = 3 \vec{OD}$$

したがって、$\vec{OE} = 3 \vec{OD}$となり、$\vec{OE}$は$\vec{OD}$のスカラー倍で表される。

これは、3点O, D, Eが一直線上にあることを意味する。

3. 最終的な答え

3点O, D, Eは一直線上にある。

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7. の問題

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、辺ABの中点をP, 辺BCの中点をM、線分AMを1:2に内分する点をQ, 辺ACを1:3に内分する点をRとする。このとき、3点P, Q, Rは一直線上にあることを証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AB}=\vec{b}$, $\vec{AC}=\vec{c}$ とおく。

点P, Q, Rの位置ベクトルを$\vec{b}$と$\vec{c}$を用いて表す。

点Pは辺ABの中点なので、

$$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$$

点Rは辺ACを1:3に内分するので、

$$\vec{AR} = \frac{1}{4}\vec{AC} = \frac{1}{4}\vec{c}$$

点Mは辺BCの中点なので、

$$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$$

点Qは線分AMを1:2に内分するので、

$$\vec{AQ} = \frac{1}{3}\vec{AM} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}\right) = \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$$

次に、$\vec{PR}$と$\vec{PQ}$が平行であることを示す。

$$\vec{PR} = \vec{AR} - \vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$$

$$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} = \frac{2}{3} \left( -\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c} \right)$$

したがって、$\vec{PQ} = \frac{2}{3}\vec{PR}$となり、$\vec{PQ}$は$\vec{PR}$のスカラー倍で表される。

これは、$\vec{PR}$と$\vec{PQ}$が平行であることを意味する。

さらに、点Pが共通しているので、3点P, Q, Rは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点P, Q, Rは一直線上にある。