放物線 $C$ の方程式が $y = c(x-2)^2 + d$ で表され、点 $P_1(6,1)$ を通る条件から $d$ を $c$ を用いて表す問題。さらに、点 $F_1(0,7)$ と点 $F_2(0,9)$ の間に向けて放水するとき、放物線がベランダの床面および塀に当たらないような $c$ の値の範囲を求める問題。ベランダの床面の $y$ 座標は点 $F_1$ の $y$ 座標と等しく、ベランダの塀の上端 $A$ の座標は $(\frac{3}{4}, \frac{17}{2})$ である。

1. 問題の内容

放物線 $C$ の方程式が $y = c(x-2)^2 + d$ で表され、点 $P_1(6,1)$ を通る条件から $d$ を $c$ を用いて表す問題。さらに、点 $F_1(0,7)$ と点 $F_2(0,9)$ の間に向けて放水するとき、放物線がベランダの床面および塀に当たらないような $c$ の値の範囲を求める問題。ベランダの床面の $y$ 座標は点 $F_1$ の $y$ 座標と等しく、ベランダの塀の上端 $A$ の座標は $(\frac{3}{4}, \frac{17}{2})$ である。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P_1(6,1)$ が放物線 $y = c(x-2)^2 + d$ 上にあるので、

$1 = c(6-2)^2 + d$

$1 = 16c + d$

よって、

$d = -16c + 1$

(ii) 放水した水がベランダの床面および塀に当たらない条件を求める。

ベランダの床面の $y$ 座標は $F_1$ の $y$ 座標であるから、7 である。

$y = c(x-2)^2 + d$ に $d = -16c + 1$ を代入すると、

$y = c(x-2)^2 - 16c + 1$

床面に当たらない条件は、$x = 0$ のとき $y > 7$ であるから、

$c(0-2)^2 - 16c + 1 > 7$

$4c - 16c + 1 > 7$

$-12c > 6$

$c < -\frac{1}{2}$

塀に当たらない条件は、点 $A(\frac{3}{4}, \frac{17}{2})$ の $x$ 座標のとき、$y < \frac{17}{2}$ であるから、

$c(\frac{3}{4}-2)^2 - 16c + 1 < \frac{17}{2}$

$c(-\frac{5}{4})^2 - 16c + 1 < \frac{17}{2}$

$\frac{25}{16}c - 16c + 1 < \frac{17}{2}$

$\frac{25}{16}c - \frac{256}{16}c < \frac{17}{2} - 1$

$-\frac{231}{16}c < \frac{15}{2}$

$c > \frac{15}{2} \times (-\frac{16}{231})$

$c > -\frac{15 \times 8}{231}$

$c > -\frac{120}{231}$

$c > -\frac{40}{77}$

したがって、$c < -\frac{1}{2}$ かつ $c > -\frac{40}{77}$ であるから、$-\frac{40}{77} < c < -\frac{1}{2}$ は誤り。

$F_1(0,7)$ と $F_2(0,9)$ の間に放水する条件は、$x=0$ で $7 < y < 9$。

よって、$7 < 4c - 16c + 1 < 9$

$7 < -12c + 1 < 9$

$6 < -12c < 8$

$-\frac{8}{12} < c < -\frac{6}{12}$

$-\frac{2}{3} < c < -\frac{1}{2}$

放物線がベランダに当たらない条件 $-\frac{2}{3} < c < -\frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

d = -16c + 1

-40/77 < c < -1/2