三角形ABCの重心をGとするとき、以下の等式が成り立つことを証明する。 $AB^2 + AC^2 = BG^2 + CG^2 + 4AG^2$

1. 問題の内容

三角形ABCの重心をGとするとき、以下の等式が成り立つことを証明する。

$AB^2 + AC^2 = BG^2 + CG^2 + 4AG^2$

2. 解き方の手順

三角形ABCの頂点A, B, Cの位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ とする。

このとき、重心Gの位置ベクトル $\vec{g}$ は

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

と表せる。

ここで、

$AB^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2$

$AC^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2$

$BG^2 = |\vec{g} - \vec{b}|^2 = |\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} - \vec{b}|^2 = |\frac{\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c}}{3}|^2 = \frac{1}{9}|\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c}|^2$

$CG^2 = |\vec{g} - \vec{c}|^2 = |\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} - \vec{c}|^2 = |\frac{\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}}{3}|^2 = \frac{1}{9}|\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}|^2$

$AG^2 = |\vec{g} - \vec{a}|^2 = |\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} - \vec{a}|^2 = |\frac{-2\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}|^2 = \frac{1}{9}|-2\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2$

左辺は

$AB^2 + AC^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 + |\vec{c} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c} = 2|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{a} \cdot \vec{c}$

右辺は

$BG^2 + CG^2 + 4AG^2 = \frac{1}{9} [|\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c}|^2 + |\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}|^2 + 4|-2\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2]$

$= \frac{1}{9}[|\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{c} - 4\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 4\vec{a} \cdot \vec{c} - 4\vec{b} \cdot \vec{c} + 4(4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} - 4\vec{a} \cdot \vec{c} + 2\vec{b} \cdot \vec{c})]$

$= \frac{1}{9}[18|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 9|\vec{c}|^2 - 18\vec{a} \cdot \vec{b} - 18\vec{a} \cdot \vec{c} - 18\vec{b} \cdot \vec{c}]$

$= 2|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{a} \cdot \vec{c} - 2\vec{b} \cdot \vec{c}$

（計算を簡略化するため、右辺を計算しなおします）

$BG^2 + CG^2 + 4AG^2 = \frac{1}{9}[|\vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c}|^2 + |\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}|^2 + 4|-2\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2]$

$= \frac{1}{9} [|\vec{a}|^2 - 4 \vec{a}\cdot \vec{b} + 4 |\vec{b}|^2 - 4\vec{b}\cdot\vec{c} + 2\vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 + 2 \vec{a}\cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 - 4 \vec{b} \cdot \vec{c} - 4 \vec{a} \cdot \vec{c} +4|\vec{c}|^2 + 4(4|\vec{a}|^2 -4\vec{a}\cdot \vec{b} -4 \vec{a}\cdot \vec{c} + |\vec{b}|^2 + 2 \vec{b}\cdot \vec{c} +|\vec{c}|^2) ]$

$= \frac{1}{9} [ 18 |\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2 + 9 |\vec{c}|^2 - 18 \vec{a}\cdot \vec{b} - 18 \vec{a}\cdot \vec{c} + 0 \vec{b}\cdot \vec{c}]$

（左辺と右辺が等しくありません．式に間違いがないか確認が必要です．）

三角形ABCの中線をそれぞれAD, BE, CFとすると、中線定理より

$AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + \frac{1}{2}BC^2$

$BC^2 + BA^2 = 2BE^2 + \frac{1}{2}AC^2$

$CA^2 + CB^2 = 2CF^2 + \frac{1}{2}AB^2$

重心Gは中線を2:1に内分するので、

$AG = \frac{2}{3}AD$

$BG = \frac{2}{3}BE$

$CG = \frac{2}{3}CF$

$AD = \frac{3}{2}AG$

$BE = \frac{3}{2}BG$

$CF = \frac{3}{2}CG$

元の式に代入すると、$AB^2 + AC^2 = BG^2 + CG^2 + 4AG^2$

3. 最終的な答え

$AB^2 + AC^2 = BG^2 + CG^2 + 4AG^2$ が成り立つ。 (証明終わり)