平行四辺形OABCにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をD、辺ABを2:1に外分する点をEとする。$\overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{OC}=\vec{c}$としたとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明する。

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6. 平行四辺形 OABC の問題

1. 問題の内容

平行四辺形OABCにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をD、辺ABを2:1に外分する点をEとする。$\overrightarrow{OA}=\vec{a}, \overrightarrow{OC}=\vec{c}$としたとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、点Dと点Eの位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{c}$を用いて表す。

* 点Dは線分ACを2:1に内分するので、

$\overrightarrow{OD} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OC}}{2+1} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}$

* 点Eは線分ABを2:1に外分するので、

$\overrightarrow{OE} = \frac{-1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OB}}{2-1} = - \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OB}$

平行四辺形なので$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{c}$

したがって、

$\overrightarrow{OE} = - \vec{a} + 2(\vec{a} + \vec{c}) = \vec{a} + 2\vec{c}$

次に、$\overrightarrow{OE}$が$\overrightarrow{OD}$の定数倍で表せることを示す。

$\overrightarrow{OE} = 3\overrightarrow{OD}$ が成り立つので、3点O, D, Eは一直線上にある。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OE} = 3\overrightarrow{OD}$より、3点O, D, Eは一直線上にある。

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7. 三角形 ABC の問題

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABの中点をP、辺BCの中点をM、線分AMを1:2に内分する点をQ、辺ACを1:3に内分する点をRとする。このとき、3点P, Q, Rは一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AP} = \vec{p}, \overrightarrow{AQ} = \vec{q}, \overrightarrow{AR} = \vec{r}$を$\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{AC} = \vec{c}$を用いて表す。

* 点Pは辺ABの中点なので、$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$

* 点Mは辺BCの中点なので、$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$

点Qは線分AMを1:2に内分するので、$\overrightarrow{AQ} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

* 点Rは辺ACを1:3に内分するので、$\overrightarrow{AR} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{4}\vec{c}$

次に、$\overrightarrow{PR}$と$\overrightarrow{PQ}$を$\vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{AR} - \overrightarrow{AP} = \frac{1}{4}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$\overrightarrow{PR} = k \overrightarrow{PQ}$ となる実数kが存在することを示す。

$-\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c} = k(-\frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c})$

$\vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、

$-\frac{1}{2} = -\frac{1}{6}k \quad \text{and} \quad \frac{1}{4} = \frac{1}{3}k$

どちらの式からも$k = \frac{3}{2}$を得られる。

よって、$\overrightarrow{PR} = \frac{3}{2}\overrightarrow{PQ}$ が成り立つので、3点P, Q, Rは一直線上にある。

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{PR} = \frac{3}{2}\overrightarrow{PQ}$より、3点P, Q, Rは一直線上にある。