正八面体の各面の重心を結んで内側にできる正六面体の体積が8であるとき、元の正八面体の1辺の長さを求める。

1. 問題の内容

正八面体の各面の重心を結んで内側にできる正六面体の体積が8であるとき、元の正八面体の1辺の長さを求める。

2. 解き方の手順

正八面体の1辺の長さを $a$ とする。正八面体の各面の重心を結んでできる正六面体の1辺の長さを $x$ とする。

まず、$x$ と $a$ の関係を求める。

正八面体の面は正三角形である。正三角形の重心は、各頂点から対辺の中点に向かう線分の交点である。

正三角形の重心は、各頂点から対辺の中点までの距離を 2:1 に内分する点である。

したがって、正八面体の各面の重心を結んでできる正六面体の1辺の長さ $x$ は、正八面体の1辺の長さ $a$ の $\frac{1}{3}$ である。

つまり、$x = \frac{a}{3}$ である。

正六面体の体積は $x^3$ である。問題文より、$x^3 = 8$ である。

したがって、$x = \sqrt[3]{8} = 2$ である。

$x = \frac{a}{3}$ より、$a = 3x$ である。

$x = 2$ より、$a = 3 \times 2 = 6$ である。

3. 最終的な答え

6