三角形ABCがあり、辺ABの中点をP、辺BCの中点をMとする。線分AMを1:2に内分する点をQ、辺ACを1:3に内分する点をRとする。このとき、3点P, Q, Rが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺ABの中点をP、辺BCの中点をMとする。線分AMを1:2に内分する点をQ、辺ACを1:3に内分する点をRとする。このとき、3点P, Q, Rが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

位置ベクトルを用いて考える。点Aを原点とし、$\vec{b} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{AC}$ とする。

点P, Q, R, Mの位置ベクトルをそれぞれ $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{r}$, $\vec{m}$ とすると、

$\vec{p} = \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{m} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$

$\vec{q} = \frac{2\vec{0} + 1\vec{m}}{1+2} = \frac{1}{3} \vec{m} = \frac{1}{6}(\vec{b} + \vec{c})$

$\vec{r} = \frac{3\vec{0} + 1\vec{c}}{1+3} = \frac{1}{4}\vec{c}$

ここで、$\overrightarrow{PR} = \vec{r} - \vec{p} = \frac{1}{4}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b}$

$\overrightarrow{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \frac{1}{6}(\vec{b} + \vec{c}) - \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} - \frac{3}{6}\vec{b} = -\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$

$\overrightarrow{PQ} = k\overrightarrow{PR}$ となる実数 $k$ が存在することを示せば、3点P, Q, Rは一直線上にあると言える。

$-\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} = k (\frac{1}{4}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b})$

$-\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} = -\frac{k}{2}\vec{b} + \frac{k}{4}\vec{c}$

$\vec{b}, \vec{c}$ は一次独立なので、係数を比較して

$-\frac{1}{3} = -\frac{k}{2}$

$\frac{1}{6} = \frac{k}{4}$

いずれの式からも $k = \frac{2}{3}$ が得られる。

したがって、$\overrightarrow{PQ} = \frac{2}{3} \overrightarrow{PR}$ となり、3点P, Q, Rは一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点P, Q, Rは一直線上にある。