平行四辺形OABCにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をD、辺ABを2:1に外分する点をEとする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とするとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明する。

1. 問題の内容

平行四辺形OABCにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をD、辺ABを2:1に外分する点をEとする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とするとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、点D, Eの位置ベクトルを$\vec{a}, \vec{c}$を用いて表す。

点Dは線分ACを2:1に内分するので、

$$\overrightarrow{OD} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OC}}{2+1} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c}}{3}$$

点Eは線分ABを2:1に外分するので、

$$\overrightarrow{OE} = \frac{-1 \cdot \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{OB}}{2-1}$$

ここで、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{a} + \vec{c}$であるから、

$$\overrightarrow{OE} = - \vec{a} + 2(\vec{a} + \vec{c}) = \vec{a} + 2\vec{c}$$

次に、$\overrightarrow{OD}$と$\overrightarrow{OE}$の関係を調べる。

$$\overrightarrow{OE} = \vec{a} + 2\vec{c} = 3 \cdot \frac{\vec{a} + 2\vec{c}}{3} = 3\overrightarrow{OD}$$

つまり、$\overrightarrow{OE} = 3\overrightarrow{OD}$ となる。これは、$\overrightarrow{OE}$が$\overrightarrow{OD}$の実数倍であることを示している。

したがって、O, D, Eは一直線上にある。

3. 最終的な答え

O, D, Eは一直線上にある。