(1) $0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$ のとき、 * $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$ ならば $\theta = \text{ア}$ * $\cos^2(180^\circ - \theta) = \frac{3}{4}$ ならば $\theta = \text{イ}$ (2) $\sin 160^\circ \cos 70^\circ - \cos 160^\circ \sin 110^\circ$ を計算せよ。 (3) $\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 45^\circ \tan 135^\circ$ を計算せよ。

1. 問題の内容

(1) $0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$ のとき、

* $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$ ならば $\theta = \text{ア}$

* $\cos^2(180^\circ - \theta) = \frac{3}{4}$ ならば $\theta = \text{イ}$

(2) $\sin 160^\circ \cos 70^\circ - \cos 160^\circ \sin 110^\circ$ を計算せよ。

(3) $\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 45^\circ \tan 135^\circ$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

(1)

* $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{1}{2}$ について。

$90^\circ - \theta = 30^\circ$ より、$\theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

* $\cos^2(180^\circ - \theta) = \frac{3}{4}$ について。

$\cos(180^\circ - \theta) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$ であるから、

$-\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta = \mp \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0^\circ \leqq \theta \leqq 90^\circ$ より $\cos \theta \geqq 0$ なので、$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって $\theta = 30^\circ$

(2)

$\sin 160^\circ \cos 70^\circ - \cos 160^\circ \sin 110^\circ$

$=\sin(180^\circ - 20^\circ) \cos 70^\circ - \cos(180^\circ - 20^\circ) \sin (90^\circ + 20^\circ)$

$=\sin 20^\circ \cos 70^\circ - (-\cos 20^\circ) \cos 20^\circ$

$=\sin 20^\circ \sin 20^\circ + \cos^2 20^\circ$

$=\sin^2 20^\circ + \cos^2 20^\circ$

$=1$

(3)

$\tan 35^\circ \tan 55^\circ - \tan 45^\circ \tan 135^\circ$

$=\tan 35^\circ \tan (90^\circ - 35^\circ) - 1 \cdot \tan(180^\circ - 45^\circ)$

$=\tan 35^\circ \cdot \frac{1}{\tan 35^\circ} - (-\tan 45^\circ)$

$=1 - (-1)$

$=1 + 1$

$=2$

3. 最終的な答え

(1) ア: $60^\circ$、イ: $30^\circ$

(2) 1

(3) 2