正七角形について、次の数を求める問題です。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 対角線の本数

1. 問題の内容

正七角形について、次の数を求める問題です。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数は、7個の頂点から3個の頂点を選ぶ組み合わせの数で求められます。これは組み合わせの記号で $_7C_3$ と表されます。計算式は以下のようになります。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}$

(2) 対角線の本数は、まず7個の頂点から2個を選ぶ組み合わせを考えます。これは $_7C_2$ で計算できます。しかし、これには正七角形の辺も含まれているため、7個の辺の数を引く必要があります。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

したがって、対角線の本数は $21 - 7 = 14$ となります。

しかし、一般的にn角形の対角線の数は、 $n(n-3)/2$　でも計算できます。

$7(7-3)/2 = 7 \times 4 / 2 = 14$

3. 最終的な答え

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数:

$\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 個

(2) 対角線の本数: 14本