正四面体の一つの面を下に置き、一つの辺を軸として3回回転させる。2回目以降は、直前にあった場所を通らないようにする。 (1) 転がし方の総数を求める。 (2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数を求める。

1. 問題の内容

正四面体の一つの面を下に置き、一つの辺を軸として3回回転させる。2回目以降は、直前にあった場所を通らないようにする。

(1) 転がし方の総数を求める。

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 転がし方の総数

最初の回転では、底面以外の3つの面が底面になりうるので、3通りの選択肢がある。

2回目の回転では、直前にあった場所を通らないようにするので、残りの3つの面のうち、直前の面以外の2つの面が底面になりうる。

3回目の回転も同様に、直前の面以外の2つの面が底面になりうる。

したがって、転がし方の総数は $3 \times 2 \times 2 = 12$ 通りである。

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数

正四面体を机の上に置いたとき、どの面を底面にするか、どの頂点を手前にするかで位置が決まる。正四面体は4つの面を持つので、底面は4通りある。底面を1つ固定すると、3つの頂点が手前に来る可能性がある。したがって、正四面体の位置の総数は $4 \times 3 = 12$ 通りである。

最初の回転で3つの面のいずれかが下になる。

2回目の回転で、1回目の回転で底面になった面を避ける。したがって、2通りの選択肢がある。

3回目の回転も同様に、直前の面を避けるので、2通りの選択肢がある。

したがって、転がし方の総数は $3 \times 2 \times 2 = 12$ 通りである。

最初の位置から考えて、

1回目の回転で3つの位置を取りうる。

2回目の回転で2つの位置を取りうる。

3回目の回転で2つの位置を取りうる。

したがって、全部で $3 \times 2 \times 2 = 12$ 通りの位置を取りうる。

正四面体全体の置き方は12通り。3回転で到達できる位置が何通りか、という問題。

12通り全てに到達できるとは限らない。

(1)は12通り。

(2)は6通り？

正四面体の対称性を利用して考える必要がある。

3. 最終的な答え

(1) 転がし方の総数：12通り

(2) 3回転がした後の正四面体の位置の総数：6通り