三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$ であるとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$ であるとき、この三角形の最も大きい角の大きさを求める。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ が成り立つ。

したがって、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ である。

問題より $\sin A : \sin B : \sin C = 7:5:3$ であるから、$a:b:c = 7:5:3$ となる。

$a = 7k, b = 5k, c = 3k$ (k > 0) とおくことができる。

三角形の最も大きい角は、最も長い辺の対角であるから、角Aが最大である。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(5k)^2 + (3k)^2 - (7k)^2}{2 \cdot 5k \cdot 3k} = \frac{25k^2 + 9k^2 - 49k^2}{30k^2} = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2}$

$0 < A < \pi$ より、$A = \frac{2}{3}\pi = 120^{\circ}$

3. 最終的な答え

$120^{\circ}$