極座標の方程式を直交座標の方程式に変換する問題です。問題文には、極座標と直交座標の変換公式として、$r\cos\theta = x$, $r\sin\theta = y$, $r^2 = x^2 + y^2$ が与えられています。4つの極座標の方程式が与えられており、それぞれを直交座標の方程式に変換する必要があります。 (1) $r = \frac{-2}{\sin\theta}$ (2) $r = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}$ (3) $r = 2(\sin\theta - \cos\theta)$ (4) $r = \frac{2}{1 - \sqrt{2}\cos\theta}$

1. 問題の内容

極座標の方程式を直交座標の方程式に変換する問題です。問題文には、極座標と直交座標の変換公式として、$r\cos\theta = x$, $r\sin\theta = y$, $r^2 = x^2 + y^2$ が与えられています。4つの極座標の方程式が与えられており、それぞれを直交座標の方程式に変換する必要があります。

(1) $r = \frac{-2}{\sin\theta}$

(2) $r = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}$

(3) $r = 2(\sin\theta - \cos\theta)$

(4) $r = \frac{2}{1 - \sqrt{2}\cos\theta}$

2. 解き方の手順

(1) $r = \frac{-2}{\sin\theta}$ の場合

まず、$r\sin\theta = -2$ と変形します。次に、$r\sin\theta = y$ を用いると、$y = -2$ となります。

(2) $r = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}$ の場合

まず、$r\cos^2\theta = \sin\theta$ と変形します。次に、両辺に $r$ をかけると、$r^2\cos^2\theta = r\sin\theta$ となります。$(r\cos\theta)^2 = r\sin\theta$ とも書けます。$r\cos\theta = x$ および $r\sin\theta = y$ を用いると、$x^2 = y$ となります。

(3) $r = 2(\sin\theta - \cos\theta)$ の場合

まず、$r = 2(\frac{y}{r} - \frac{x}{r})$ と変形します。両辺に $r$ をかけると、$r^2 = 2(y - x)$ となります。$r^2 = x^2 + y^2$ を用いると、$x^2 + y^2 = 2(y - x)$ となります。したがって、$x^2 + y^2 = 2y - 2x$ です。変形すると、$x^2 + 2x + y^2 - 2y = 0$ となり、$(x+1)^2 - 1 + (y-1)^2 - 1 = 0$、つまり $(x+1)^2 + (y-1)^2 = 2$ となります。

(4) $r = \frac{2}{1 - \sqrt{2}\cos\theta}$ の場合

まず、$r(1 - \sqrt{2}\cos\theta) = 2$ と変形します。次に、$r - r\sqrt{2}\cos\theta = 2$ となります。$r\cos\theta = x$ を用いると、$r - \sqrt{2}x = 2$ となります。したがって、$r = \sqrt{2}x + 2$ となります。両辺を2乗すると、$r^2 = (\sqrt{2}x + 2)^2$ となり、$x^2 + y^2 = 2x^2 + 4\sqrt{2}x + 4$ となります。変形すると、$x^2 + 4\sqrt{2}x - y^2 + 4 = 0$ となります。さらに、$x^2 + 4\sqrt{2}x + (2\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2 - y^2 + 4 = 0$ と変形できます。これは$(x + 2\sqrt{2})^2 - 8 - y^2 + 4 = 0$、つまり$(x + 2\sqrt{2})^2 - y^2 = 4$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2$

(2) $y = x^2$

(3) $(x+1)^2 + (y-1)^2 = 2$

(4) $(x + 2\sqrt{2})^2 - y^2 = 4$