問題11：3点A(6, 1), B(4, 0), C(0, 3)を通る円の方程式を求めよ。 問題12：次の円と直線の共有点の個数を求めよ。 (1) $x^2 + y^2 = 4$, $y = x - 1$ (2) $x^2 + y^2 = 9$, $y = x + 5$

1. 問題の内容

問題11：3点A(6, 1), B(4, 0), C(0, 3)を通る円の方程式を求めよ。

問題12：次の円と直線の共有点の個数を求めよ。

(1) $x^2 + y^2 = 4$, $y = x - 1$

(2) $x^2 + y^2 = 9$, $y = x + 5$

2. 解き方の手順

問題11：

円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。

3点A(6, 1), B(4, 0), C(0, 3)を通るので、それぞれ代入する。

A(6, 1): $36 + 1 + 6a + b + c = 0 \Rightarrow 6a + b + c = -37$ ...(1)

B(4, 0): $16 + 0 + 4a + 0 + c = 0 \Rightarrow 4a + c = -16$ ...(2)

C(0, 3): $0 + 9 + 0 + 3b + c = 0 \Rightarrow 3b + c = -9$ ...(3)

(1) - (2): $2a + b = -21$ ...(4)

(3) より $c = -9 - 3b$ ...(5)

(2)に(5)を代入: $4a - 9 - 3b = -16 \Rightarrow 4a - 3b = -7$ ...(6)

(4) * 3 + (6): $6a + 3b + 4a - 3b = -63 - 7 \Rightarrow 10a = -70 \Rightarrow a = -7$

(4) に a = -7 を代入: $2*(-7) + b = -21 \Rightarrow -14 + b = -21 \Rightarrow b = -7$

(5) に b = -7 を代入: $c = -9 - 3*(-7) = -9 + 21 = 12$

よって円の方程式は $x^2 + y^2 - 7x - 7y + 12 = 0$

変形して $(x - \frac{7}{2})^2 + (y - \frac{7}{2})^2 = (\frac{7}{2})^2 + (\frac{7}{2})^2 - 12 = \frac{49}{4} + \frac{49}{4} - \frac{48}{4} = \frac{49 + 49 - 48}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}$

$(x - \frac{7}{2})^2 + (y - \frac{7}{2})^2 = \frac{25}{2}$

問題12：

(1) $x^2 + y^2 = 4$ に $y = x - 1$ を代入する。

$x^2 + (x - 1)^2 = 4$

$x^2 + x^2 - 2x + 1 = 4$

$2x^2 - 2x - 3 = 0$

判別式 $D = (-2)^2 - 4(2)(-3) = 4 + 24 = 28 > 0$ なので、共有点は2個。

(2) $x^2 + y^2 = 9$ に $y = x + 5$ を代入する。

$x^2 + (x + 5)^2 = 9$

$x^2 + x^2 + 10x + 25 = 9$

$2x^2 + 10x + 16 = 0$

$x^2 + 5x + 8 = 0$

判別式 $D = 5^2 - 4(1)(8) = 25 - 32 = -7 < 0$ なので、共有点は0個。

3. 最終的な答え

問題11：$(x - \frac{7}{2})^2 + (y - \frac{7}{2})^2 = \frac{25}{2}$

問題12：

(1) 2個

(2) 0個