三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rについて、OとIが一致しない場合に、R, rとOIの関係を調べる問題です。空欄を埋める必要があります。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心O、内心I、外接円の半径R、内接円の半径rについて、OとIが一致しない場合に、R, rとOIの関係を調べる問題です。空欄を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

(ア) $\triangle AHI$と$\triangle EBD$において、$\angle HAI = \angle BAI$（BAIを選択）であり、$\angle BED$と等しいので、$\angle HAI = \angle BED$。

(イ) $\triangle AHI$と$\triangle EBD$は相似であり、対応する辺の比が等しいので、$ED:AI = DE:AI = BD:AI=DE:AI= BD:AI = DI : HI$（DIを選択）。従って、$ED:AI = DI:HI$が成り立つ。$ED : AI = DI : HI$より、$ED \cdot HI = AI \cdot DI$だから、$ED:AI = DI:HI$ が成り立つ。

(ウ) 式$AI = \Box rR$は、$AI = 2rR$となる。

(エ) $\triangle DBI$において、$\angle DIB = \angle ABI + \angle BAI$（BAIを選択）。

(オ) $\angle ABI = \angle CBI$, $\angle CAD = \angle CBD$であるから、$\angle DIB = \angle DFI$（DFIを選択）。

(カ) $\triangle DBI$は二等辺三角形となり、$BD = ID$。従って、$DI = BD$（BDを選択）。

(キ) 方べきの定理により、$AI \cdot ID = (FO+OI)(GO-OI) = R^2 - OI^2$。$AI \cdot ID = (FO+OI)(GO-OI) = R^2 - OI^2$だから、式中の空欄はOI (OIを選択)。

(ク) ①、②、③から $OI^2 = R^2 - 2rR$（2rRを選択）が成り立つ。

3. 最終的な答え

ア: BAI

イ: DI

ウ: 2

エ: BAI

オ: DFI

カ: BD

キ: OI

ク: 2rR