三角形 ABC の外心 O、内心 I、外接円の半径 R、内接円の半径 r が与えられたとき、R, r と OI の関係を調べる問題です。指定された解答群から当てはまるものを選び、空欄を埋めます。

1. 問題の内容

三角形 ABC の外心 O、内心 I、外接円の半径 R、内接円の半径 r が与えられたとき、R, r と OI の関係を調べる問題です。指定された解答群から当てはまるものを選び、空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

まず、三角形 AHI と三角形 EBD の相似について考えます。

$\angle HAI = \angle BAI$ (選択肢より) $= \angle BED$ より、アはBAI

$\angle EDB=\angle EAB=\angle BAI$

$\angle DIB = \angle DBI$を示す

$\angle DIB = \angle ABI + \angle BAI$

$\angle DBI = \angle DBC + \angle CBI = \angle DAC + \angle CBI$

$\angle ABI = \angle CBI$

$\angle BAI = \angle CAD$ (外接円の円周角より)

よって $\angle DIB = \angle DBI$

なので、 $\triangle DBI$ は二等辺三角形となる。

$DB = DI$

$ED:AI = BD:HI$ なので $\dfrac{ED}{AI} = \dfrac{BD}{HI}$。したがって、イは BD です。

$AI \cdot AI = 2rR$ (解答群から選択) なので、ウは 2

次に方べきの定理を適用する。

$AI \cdot ID = FI \cdot IG$

$AI \cdot DI = (FO + OI)(OG - OI) = (R + OI)(R - OI) = R^2 - OI^2$

$AI \cdot DB = (FO + OI)(GO - OI)$

したがって、カは OI, キは OI です。

①、②、③から $OI^2 = R^2 - 2Rr$ が成り立つ。

よって、クは $2rR$ です。

3. 最終的な答え

ア: BAI

イ: BD

ウ: 2

エ: ABI

オ: DBI

カ: OI

キ: OI

ク: $2rR$