点Cを中心とする半径rの円について、以下の問いに答えます。 (1) 円周上の任意の点をPとしたとき、ベクトル $\vec{OC}$, $\vec{OP}$, r の満たす関係式（円のベクトル方程式）を求めます。 (2) 点Cの座標を(a, b)、点Pの座標を(x, y)としたとき、$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ が成り立つことを証明します。

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5. 点Cを中心とする半径rの円に関する問題

1. 問題の内容

点Cを中心とする半径rの円について、以下の問いに答えます。

(1) 円周上の任意の点をPとしたとき、ベクトル $\vec{OC}$, $\vec{OP}$, r の満たす関係式（円のベクトル方程式）を求めます。

(2) 点Cの座標を(a, b)、点Pの座標を(x, y)としたとき、$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ が成り立つことを証明します。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{CP} = \vec{OP} - \vec{OC}$ です。

点Pは円周上の点なので、$|\vec{CP}| = r$ が成り立ちます。

したがって、$|\vec{OP} - \vec{OC}| = r$ が求めるベクトル方程式です。

両辺を2乗すると、$|\vec{OP} - \vec{OC}|^2 = r^2$ となります。

(2)

$\vec{OC} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, $\vec{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ とすると、

$\vec{CP} = \vec{OP} - \vec{OC} = \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix}$ です。

$|\vec{CP}| = r$ より、$|\vec{CP}|^2 = r^2$ です。

$|\vec{CP}|^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2$ であるから、

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{OP} - \vec{OC}| = r$ または $|\vec{OP} - \vec{OC}|^2 = r^2$

(2) $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ は成り立つ。（証明終わり）

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6. 平面上の2点A, Bを直径の両端とする円に関する問題

1. 問題の内容

平面上の2点A, Bを直径の両端とする円について、以下の問いに答えます。

(1) 円周上の任意の点をPとしたとき、この円のベクトル方程式を$\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OP}$ で表します。

(2) 点Aの座標を$(x_1, y_1)$、点Bの座標を$(x_2, y_2)$、点Pの座標を(x, y)としたとき、$(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ が成り立つことを証明します。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{AP} \perp \vec{BP}$ なので、$\vec{AP} \cdot \vec{BP} = 0$ が成り立ちます。

$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA}$

$\vec{BP} = \vec{OP} - \vec{OB}$

したがって、$(\vec{OP} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OP} - \vec{OB}) = 0$ が求めるベクトル方程式です。

(2)

$\vec{AP} = \begin{pmatrix} x - x_1 \\ y - y_1 \end{pmatrix}$

$\vec{BP} = \begin{pmatrix} x - x_2 \\ y - y_2 \end{pmatrix}$

$\vec{AP} \cdot \vec{BP} = (x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2)$

$\vec{AP} \cdot \vec{BP} = 0$ より、

$(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $(\vec{OP} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OP} - \vec{OB}) = 0$

(2) $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ は成り立つ。（証明終わり）