立方体の各面を、隣り合った面の色が異なるように色を塗る問題です。立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなします。 (1) 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。 (2) 異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

1. 問題の内容

立方体の各面を、隣り合った面の色が異なるように色を塗る問題です。立方体を回転させて一致する塗り方は同じとみなします。

(1) 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

(2) 異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 異なる6色をすべて使う場合

まず、底面の色を固定します。6色のうちどれを底面に塗っても、回転によって同じ塗り方になるので、底面の色は1通りとみなせます。

次に、上面の色を決めます。底面の色以外であれば何色でも良いので、5通りの選び方があります。

残りの4つの側面は、円順列の考え方を使います。4色を円形に並べる方法は $(4-1)! = 3!$ 通りです。

したがって、異なる6色をすべて使って塗る方法は、$5 \times 3! = 5 \times 6 = 30$ 通りです。

(2) 異なる5色をすべて使う場合

5色のうち、1色を2回使うことになります。

まず、どの色を2回使うかを選びます。これは5通りです。

次に、2回使う色を向かい合う面に塗る場合と、隣り合う面に塗る場合で場合分けします。

a) 2回使う色を向かい合う面に塗る場合

2回使う色を上面と底面に塗るとします。残りの4つの側面は、異なる4色を円順列に並べるのと同じ考え方で、 $(4-1)! = 3! = 6$ 通りです。

したがって、この場合は $5 \times 6 = 30$ 通りとなります。しかし、この場合、隣り合う面の色が同じになってしまうことはないので、この場合分けは間違っています。

2回使う色を塗る面を選びます。2つの面が向かい合っているか、隣り合っているかで場合分けします。

i) 2回使う色を向かい合う面に塗る場合: 5色から1色を選び（5通り）、その色を向かい合う面に塗ります。残りの4色を側面に塗ります。4色の並べ方は $(4-1)! = 3! = 6$ 通り。よって $5 \times 6 = 30$通り。しかし、隣り合う面は同じ色ではない、という条件より、この塗り方は条件を満たしません。

ii) 2回使う色を隣り合う面に塗る場合：5色から1色を選び（5通り）、その色を隣り合う面に塗ります。この隣り合う面の位置関係は回転させると4通りありますが、全て同じなので、1つの選び方と考えます。 残り３つの面には３色を塗ることになる。３つの面を固定した時、残りの3色の並べ方は$3! = 6$通り。さらに、残り１面はすでに使用した３色のうちどれかを塗る必要があります。したがって、残り３面への色の塗り方の場合の数は0通り。

5色のうち1色を2回使うので、その1色を決めます。これは5通り。

その2つの面が向かい合っている場合はあり得ません。なぜなら、隣り合う面の色が異ならなくなるからです。

したがって、その2つの面は隣り合っている必要があります。

立方体を回転させて、2つの面のうち片方を底面に固定します。

すると、隣り合う面は4つありますから、そのどれかを選ぶことになります。

残りの4面には4色を塗るわけですが、これは円順列ではなく、単純な順列になります。

隣り合う面の色の並びは$3 \times 2 \times 1=6$

したがって、異なる5色をすべて使って塗る方法は、$5 \times 6 = 30$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 30通り