直角三角形ABCにおいて、辺ABの長さが15、ADの長さが$12\sqrt{3}$で、ADはBCに対する垂線です。このとき、BDとACの長さを求めます。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、辺ABの長さが15、ADの長さが$12\sqrt{3}$で、ADはBCに対する垂線です。このとき、BDとACの長さを求めます。

2. 解き方の手順

まず、直角三角形ABDについて三平方の定理を用いてBDの長さを求めます。

$AB^2 = AD^2 + BD^2$

$15^2 = (12\sqrt{3})^2 + BD^2$

$225 = 144 \times 3 + BD^2$

$225 = 432 + BD^2$

これは誤りです。BDの長さを正しく求めるには、まず三角形ABDが直角三角形であることを利用します。

$AB = 15$

$AD = 12\sqrt{3}$

三平方の定理より

$BD^2 = AB^2 - AD^2$

$BD^2 = 15^2 - (12\sqrt{3})^2$

$BD^2 = 225 - 432$

$BD^2 = -207$

これも誤りです。問題文に誤りがないか確認します。

ADは$12\sqrt{3}$でなく、$12$だと仮定して解いてみます。

改めて、直角三角形ABDにおいて、

$AB=15$

$AD=12$

三平方の定理より、

$BD^2 = AB^2 - AD^2$

$BD^2 = 15^2 - 12^2$

$BD^2 = 225 - 144$

$BD^2 = 81$

$BD = 9$

次に、直角三角形ADCについて、三角形ABCと三角形ABDが相似であることを利用してACの長さを求めます。

三角形ABDと三角形CADと三角形ABCは全て相似です。

$AB:AC = AD:CD = BD:AD$

$15:AC = 12:CD = 9:12$

$9:12 = 3:4$

$AC = \frac{15 \times 12}{9} = \frac{180}{9} = 20$

3. 最終的な答え

BDの長さは9

ACの長さは20

$BD = 9$

$AC = 20$