一辺の長さが $p$ mの正方形の花壇の周りに幅$a$ mの道がある。道の面積を$S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを$l$ mとするとき、$S = al$となることを証明する。空欄に当てはまる式を記入する。

1. 問題の内容

一辺の長さが $p$ mの正方形の花壇の周りに幅$a$ mの道がある。道の面積を$S$ m$^2$、道の真ん中を通る線の長さを$l$ mとするとき、$S = al$となることを証明する。空欄に当てはまる式を記入する。

2. 解き方の手順

(証明)

道の面積$S$ m$^2$は、外側の正方形の面積から内側の正方形の面積を引くことで求められる。

外側の正方形の一辺の長さは、$p + 2a$なので、面積は$(p+2a)^2$となる。したがって、

$S = (p+2a)^2 - p^2$

$= p^2 + 4ap + 4a^2 - p^2$

$= 4ap + 4a^2$　…(1)

道の真ん中を通る線の長さ$l$ mは、一辺の長さが$p+a$ mの正方形の周の長さであるから、

$l = 4(p+a) = 4p+4a$となる。

この式の両辺に$a$をかけて、

$al = a \times (4p+4a)$

$= 4ap+4a^2$　…(2)

(1),(2)より、$S = al$

3. 最終的な答え

$S = (p+2a)^2 - p^2$

$= p^2 + 4ap + 4a^2 - p^2$

$= 4ap + 4a^2$　…(1)

道の真ん中を通る線の長さ$l$ mは、一辺の長さが$(p+a)$ mの正方形の周の長さであるから、

$l = 4(p+a) = 4p+4a$となる。

この式の両辺に$a$をかけて、

$al = a \times (4p+4a)$

$= 4ap+4a^2$　…(2)

(1),(2)より、$S = al$