一辺の長さが4の正四面体ABCDがある。辺AB上にAE:EB=3:1となる点Eをとり、辺ADの中点をFとする。 (1) 線分CEの長さを求めよ。 (2) △CEFの面積を求めよ。 (3) 点Aから平面CEFに垂線AHを引くとき、線分AHの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが4の正四面体ABCDがある。辺AB上にAE:EB=3:1となる点Eをとり、辺ADの中点をFとする。

(1) 線分CEの長さを求めよ。

(2) △CEFの面積を求めよ。

(3) 点Aから平面CEFに垂線AHを引くとき、線分AHの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分CEの長さを求める。

正四面体の各面は正三角形である。△ABCにおいて、余弦定理を用いる。

$AE = 4 \times \frac{3}{4} = 3$

$CE^2 = AC^2 + AE^2 - 2 \times AC \times AE \times \cos{60^\circ}$

$CE^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \times 4 \times 3 \times \frac{1}{2}$

$CE^2 = 16 + 9 - 12 = 13$

$CE = \sqrt{13}$

(2) △CEFの面積を求める。

$AF = AD / 2 = 4 / 2 = 2$

$EF^2 = AE^2 + AF^2 - 2 \times AE \times AF \times \cos{60^\circ}$

$EF^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \times 3 \times 2 \times \frac{1}{2}$

$EF^2 = 9 + 4 - 6 = 7$

$EF = \sqrt{7}$

$CF^2 = AC^2 + AF^2 - 2 \times AC \times AF \times \cos{60^\circ}$

$CF^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \times 4 \times 2 \times \frac{1}{2}$

$CF^2 = 16 + 4 - 8 = 12$

$CF = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

ヘロンの公式を用いる。

$s = \frac{CE + EF + CF}{2} = \frac{\sqrt{13} + \sqrt{7} + 2\sqrt{3}}{2}$

$S = \sqrt{s(s-CE)(s-EF)(s-CF)}$

より求めることは難しいので、別の方法を考える。

点Fから辺ABに垂線FIを下ろす。

$AI = AF \cos{60^\circ} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$

$FI = AF \sin{60^\circ} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

△CEFの面積は、

△AEF + △ACF - △ACE

$\frac{1}{2} \times AE \times AF \times \sin{60^\circ} + \frac{1}{2} \times AC \times AF \times \sin{60^\circ} - \frac{1}{2} \times AE \times AC \times \sin{60^\circ}$

$\frac{\sqrt{3}}{4} (AE \times AF + AC \times AF - AE \times AC)$

$\frac{\sqrt{3}}{4} (3 \times 2 + 4 \times 2 - 3 \times 4) = \frac{\sqrt{3}}{4} (6 + 8 - 12) = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) 点Aから平面CEFに下ろした垂線AHの長さを求める。

正四面体ABCDの体積Vは $V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 4^3 = \frac{16\sqrt{2}}{3}$

△CEFを底面としたときの高さがAHとなるので、$V = \frac{1}{3} \times △CEF \times AH$

$\frac{16\sqrt{2}}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times AH$

$AH = \frac{16\sqrt{2} \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $CE = \sqrt{13}$

(2) $△CEF = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $AH = \frac{32\sqrt{6}}{3}$