問題は、Oを原点とし、A(2, 1), B(1, 2)とする。$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ (s, tは実数)と表されるとき、sとtが与えられた条件を満たしながら変化するとき、点Pが描く図形を図示せよというものです。 (1) $1 \le s \le 2$, $0 \le t \le 1$ (2) $1 \le s+t \le 2$, $s \ge 0$, $t \ge 0$

1. 問題の内容

問題は、Oを原点とし、A(2, 1), B(1, 2)とする。$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ (s, tは実数)と表されるとき、sとtが与えられた条件を満たしながら変化するとき、点Pが描く図形を図示せよというものです。

(1) $1 \le s \le 2$, $0 \le t \le 1$

(2) $1 \le s+t \le 2$, $s \ge 0$, $t \ge 0$

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = s(2, 1) + t(1, 2) = (2s+t, s+2t)$

$1 \le s \le 2$, $0 \le t \le 1$

これは平行四辺形になります。

s=1, t=0のとき P(2, 1)

s=2, t=0のとき P(4, 2)

s=1, t=1のとき P(3, 3)

s=2, t=1のとき P(5, 4)

これらの4点を頂点とする平行四辺形を描きます。

(2)

$1 \le s+t \le 2$, $s \ge 0$, $t \ge 0$

$s+t = k$とおくと、$1 \le k \le 2$

$\vec{OP} = s\vec{OA} + t\vec{OB} = s(2, 1) + t(1, 2) = (2s+t, s+2t)$

$t = k-s$

$\vec{OP} = s(2, 1) + (k-s)(1, 2) = (2s + k - s, s + 2k - 2s) = (s+k, -s+2k)$

$0 \le s \le k$

$\vec{OP} = k (\frac{s}{k}\vec{OA} + \frac{k-s}{k}\vec{OB})$

これは線分を表し、その線分が $1 \le k \le 2$ に応じて変化するので領域になります。

k=1のとき、0<=s<=1より、s=0で(1,2), s=1で(2,1)

k=2のとき、0<=s<=2より、s=0で(2,4), s=2で(4,2)

四角形を描きます。頂点は、(1,2), (2,4), (4,2), (2,1)。

3. 最終的な答え

(1) (2, 1), (4, 2), (3, 3), (5, 4)を頂点とする平行四辺形。

(2) (1, 2), (2, 4), (4, 2), (2, 1)を頂点とする四角形。