一辺の長さが4の正四面体ABCDがある。辺AB上にAE:EB=3:1となる点Eをとり、辺ADの中点をFとする。 (1) 線分CEの長さを求めよ。 (2) 三角形CEFの面積を求めよ。 (3) 点Aから平面CEFに垂線AHを引くとき、線分AHの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが4の正四面体ABCDがある。辺AB上にAE:EB=3:1となる点Eをとり、辺ADの中点をFとする。

(1) 線分CEの長さを求めよ。

(2) 三角形CEFの面積を求めよ。

(3) 点Aから平面CEFに垂線AHを引くとき、線分AHの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分CEの長さを求める。

三角形ABCにおいて、余弦定理を用いる。

$CE^2 = AC^2 + AE^2 - 2 \cdot AC \cdot AE \cdot \cos{60^\circ}$

$AC = 4$, $AE = 3$であるから、

$CE^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 9 - 12 = 13$

よって、$CE = \sqrt{13}$

(2) 三角形CEFの面積を求める。

ベクトルで考える。

$\vec{AC} = \vec{c}$, $\vec{AE} = \vec{e}$, $\vec{AF} = \vec{f}$ とすると、

$\vec{e} = \frac{3}{4} \vec{b}$, $\vec{f} = \frac{1}{2} \vec{d}$

$\vec{CE} = \vec{AE} - \vec{AC} = \frac{3}{4} \vec{b} - \vec{c}$

$\vec{CF} = \vec{AF} - \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{d} - \vec{c}$

$|\vec{CE}|^2 = CE^2 = 13$, $|\vec{CF}|^2 = CF^2 = (\frac{1}{2}AD)^2 + AC^2 - 2 (\frac{1}{2}AD) AC \cos{60} = 2^2+4^2-2\times2\times4\times \frac{1}{2} = 4+16-8 = 12$, $|\vec{EF}|^2 = (\vec{f}-\vec{e})^2 = EF^2$

三角形AEFにおいて、AE=3, AF=2, $\angle EAF = 60^\circ$

$EF^2 = AE^2 + AF^2 - 2 AE AF \cos{60^\circ} = 3^2+2^2-2\times3\times2 \times \frac{1}{2} = 9+4-6 = 7$

したがって、$EF = \sqrt{7}$

余弦定理を使って$\angle ECF = \theta$を求める。

$EF^2 = CE^2 + CF^2 - 2 CE CF \cos \theta$

$7 = 13 + 12 - 2\sqrt{13} \sqrt{12} \cos \theta$

$2 \sqrt{13 \cdot 12} \cos \theta = 18$

$\cos \theta = \frac{18}{2 \sqrt{156}} = \frac{9}{\sqrt{156}}$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{81}{156} = \frac{75}{156} = \frac{25}{52}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{25}{52}} = \frac{5}{2\sqrt{13}}$

三角形CEFの面積$= \frac{1}{2} CE CF \sin \theta = \frac{1}{2} \sqrt{13} \sqrt{12} \frac{5}{2\sqrt{13}} = \frac{1}{4} 5 \sqrt{12} = \frac{1}{4} 5 (2 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$

(3) 点Aから平面CEFに垂線AHを引くとき、線分AHの長さを求めよ。

正四面体ABCDの体積をVとする。

$V = \frac{\sqrt{2}}{12} \cdot 4^3 = \frac{16\sqrt{2}}{3}$

四面体ACEFの体積は、四面体ACEF = V - 四面体ABCF - 四面体BCEF - 四面体DECF

または、四面体ACEFの体積$= \frac{1}{3} AH S_{CEF}$

四面体ACEFの体積$=\frac{1}{6} |(\vec{AE} - \vec{AC}) \times (\vec{AF} - \vec{AC}) \cdot \vec{AA}| = \frac{1}{6}|\vec{AE} \times \vec{AF} \cdot \vec{AC}|$

$\frac{1}{6} \begin{vmatrix}0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 4 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{6} |0 - 3(0-8) + 0| = \frac{24}{6} = 4$

$\frac{1}{3} AH \cdot \frac{5 \sqrt{3}}{2} = 4$

$AH = \frac{12 \times 2}{5 \sqrt{3}} = \frac{24}{5 \sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $CE = \sqrt{13}$

(2) 三角形CEFの面積$= \frac{5 \sqrt{3}}{2}$

(3) $AH = \frac{8 \sqrt{3}}{5}$