直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=$\sqrt{3}$、AD=$\sqrt{6}$、BF=1である。 (1) ∠CAFを求める。 (2) △AFCの面積を求める。 (3) 四面体BAFCの体積を求める。 (4) Bから平面AFCに下ろした垂線の長さを求める。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AB=$\sqrt{3}$、AD=$\sqrt{6}$、BF=1である。

(1) ∠CAFを求める。

(2) △AFCの面積を求める。

(3) 四面体BAFCの体積を求める。

(4) Bから平面AFCに下ろした垂線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) ∠CAF

直方体なので、AC=$\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{3+6} = \sqrt{9} = 3$。

$AF = \sqrt{AB^2 + BF^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$。

$CF = \sqrt{BC^2 + BF^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 1^2} = \sqrt{6+1} = \sqrt{7}$。

△AFCにおいて、余弦定理より、

$\cos ∠CAF = \frac{AC^2 + AF^2 - CF^2}{2 \cdot AC \cdot AF} = \frac{3^2 + 2^2 - (\sqrt{7})^2}{2 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{9+4-7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$。

よって、∠CAF = 60°。

(2) △AFCの面積

△AFCにおいて、∠CAF = 60°、AC = 3、AF = 2なので、

$S_{\triangle AFC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AF \cdot \sin ∠CAF = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin 60^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。

(3) 四面体BAFCの体積

四面体BAFCの体積は、三角錐として考えられる。

底面を△ABCとすると、高さはBFとなる。

$V_{BAFC} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot BF = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC) \cdot BF = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \cdot 1 = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

(4) Bから平面AFCに下ろした垂線の長さ

Bから平面AFCに下ろした垂線の長さをhとする。

四面体BAFCの体積は、(3)より$\frac{\sqrt{2}}{2}$である。

底面を△AFCとすると、高さはhとなる。

$V_{BAFC} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle AFC} \cdot h$。

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot h$。

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h$。

$h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。

3. 最終的な答え

(1) ∠CAF = 60°

(2) △AFCの面積 = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

(3) 四面体 BAFCの体積 = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(4) Bから平面AFCに下ろした垂線の長さ = $\frac{\sqrt{6}}{3}$