正七角形に関する以下の問題を解きます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。 (2) 対角線の本数を求めます。 (3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数を求めます。

1. 問題の内容

正七角形に関する以下の問題を解きます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数を求めます。

(2) 対角線の本数を求めます。

(3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

7個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの記号を用いて $_7C_3$ と表されます。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

(2) 対角線の本数

7個の頂点から2個を選ぶ組み合わせから、辺の数を引けば対角線の本数が求まります。

7個の頂点から2個を選ぶ組み合わせは $_7C_2$ であり、辺の数は7です。

$_7C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

よって、対角線の本数は $21 - 7 = 14$

(3) 正七角形と2辺を共有する三角形の個数

正七角形の隣り合う2辺を共有する三角形は、残りの1つの頂点の選び方が決まれば一意に定まります。

正七角形の隣り合う2辺を選んだとき、その2辺の両端の頂点以外の頂点を選ぶと、正七角形と2辺を共有する三角形になります。

正七角形の頂点は7つなので、隣り合う2辺は7通り選べます。残りの頂点の選び方は、隣り合う2辺の両端の頂点以外の1つなので、1通りです。

したがって、正七角形と2辺を共有する三角形の個数は7個です。

3. 最終的な答え

(1) 35個

(2) 14本

(3) 7個