一辺の長さが2である立方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABの中点をP、辺BCをBQ:QC = m:(1-m)に内分する点をQとする。点Bから三角形PFQに下ろした垂線の長さを求める問題。ただし、0 < m < 1。

1. 問題の内容

一辺の長さが2である立方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABの中点をP、辺BCをBQ:QC = m:(1-m)に内分する点をQとする。点Bから三角形PFQに下ろした垂線の長さを求める問題。ただし、0 < m < 1。

2. 解き方の手順

1. 座標の設定：点Bを原点(0,0,0)とし、$\vec{BA} = (2,0,0)$、$\vec{BC} = (0,2,0)$、$\vec{BF} = (0,0,2)$となるように座標軸を設定する。

2. 点P, Q, Fの座標を求める。

- PはABの中点なので、$\vec{BP} = \frac{1}{2}\vec{BA} = (1,0,0)$より、P(1,0,0)。

- QはBCをm:(1-m)に内分するので、$\vec{BQ} = m\vec{BC} = (0,2m,0)$より、Q(0,2m,0)。

- Fは(0,0,2)。

3. ベクトル$\vec{FP}$と$\vec{FQ}$を求める。

- $\vec{FP} = \vec{BP} - \vec{BF} = (1,0,-2)$

- $\vec{FQ} = \vec{BQ} - \vec{BF} = (0,2m,-2)$

4. $\triangle PFQ$の法線ベクトル$\vec{n}$を求める。$\vec{n}$は$\vec{FP}$と$\vec{FQ}$の両方に垂直なので、外積を計算する。

$\vec{n} = \vec{FP} \times \vec{FQ} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 2m \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4m \\ 2 \\ 2m \end{pmatrix}$

5. 法線ベクトルを正規化する。

$\vec{n}$の大きさは $|\vec{n}| = \sqrt{(4m)^2 + 2^2 + (2m)^2} = \sqrt{16m^2 + 4 + 4m^2} = \sqrt{20m^2 + 4} = 2\sqrt{5m^2 + 1}$

正規化された法線ベクトル $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{1}{2\sqrt{5m^2 + 1}}\begin{pmatrix} 4m \\ 2 \\ 2m \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5m^2 + 1}}\begin{pmatrix} 2m \\ 1 \\ m \end{pmatrix}$

6. 原点Bから平面PFQまでの距離dを求める。これは、$\vec{BP}$と$\hat{n}$の内積の絶対値に等しい。ただし、$\vec{BP}$の代わりに、$\vec{BQ}$または$\vec{BF}$を用いても同じ結果が得られるはず。

$d = |\vec{BP} \cdot \hat{n}| = \left| (1,0,0) \cdot \frac{1}{\sqrt{5m^2 + 1}}\begin{pmatrix} 2m \\ 1 \\ m \end{pmatrix} \right| = \frac{|2m|}{\sqrt{5m^2 + 1}} = \frac{2m}{\sqrt{5m^2 + 1}}$ （∵0 < m < 1)

3. 最終的な答え

$\frac{2m}{\sqrt{5m^2 + 1}}$