三角形ABCにおいて、点Oは三角形ABCの外心である。∠BAO = 20°, ∠OBC = 30°のとき、∠αと∠βを求めよ。ここで、∠α = ∠BOC, ∠β = ∠OCAである。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Oは三角形ABCの外心である。∠BAO = 20°, ∠OBC = 30°のとき、∠αと∠βを求めよ。ここで、∠α = ∠BOC, ∠β = ∠OCAである。

2. 解き方の手順

三角形ABCの外心Oは、三角形の各頂点から等距離にある。したがって、OA = OB = OCとなる。

* 三角形ABOに着目すると、OA = OBより、三角形ABOは二等辺三角形である。したがって、∠OAB = ∠OBA = 20°である。

* 三角形BCOに着目すると、OB = OCより、三角形BCOは二等辺三角形である。したがって、∠OBC = ∠OCB = 30°である。

* 三角形CAOに着目すると、OC = OAより、三角形CAOは二等辺三角形である。したがって、∠OCA = ∠OAC = βである。

* 三角形ABCの内角の和は180°であるから、∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°が成り立つ。

∠BAC = ∠BAO + ∠OAC = 20° + β

∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 20° + 30° = 50°

∠BCA = ∠BCO + ∠OCA = 30° + β

したがって、

(20° + β) + 50° + (30° + β) = 180°

2β + 100° = 180°

2β = 80°

β = 40°

* ∠αは、中心角であり、∠BACの2倍である。

∠A = 20 + β = 20 + 40 = 60°

しかしこれは間違い。Oは外心だから、∠BOC = 2∠BAC という関係が成り立つ。

∠BAC = 20 + β = 20 + 40 = 60

∠BOC = α = 2∠BAC = 2 * 60 = 120°

3. 最終的な答え

∠α = 120°

∠β = 40°