次の円の方程式を求める問題です。 (1) 円 $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 1 = 0$ と中心が同じで、点 $(1, 2)$ を通る円 (2) 点 $(1, -3)$ に関して、円 $x^2 + y^2 = 1$ と対称な円 (3) 中心が $x$ 軸上にあり、2点 $(3, 5)$, $(-3, 7)$ を通る円 (4) 中心が直線 $y = x$ 上にあり、半径が $\sqrt{13}$ で点 $(2, 1)$ を通る円 (5) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸に接する円 (6) 3直線 $x - y = -1$, $x + y = 3$, $x + 2y = -1$ で作られる三角形の外接円

1. 問題の内容

次の円の方程式を求める問題です。

(1) 円 $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 1 = 0$ と中心が同じで、点 $(1, 2)$ を通る円

(2) 点 $(1, -3)$ に関して、円 $x^2 + y^2 = 1$ と対称な円

(3) 中心が $x$ 軸上にあり、2点 $(3, 5)$, $(-3, 7)$ を通る円

(4) 中心が直線 $y = x$ 上にあり、半径が $\sqrt{13}$ で点 $(2, 1)$ を通る円

(5) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸に接する円

(6) 3直線 $x - y = -1$, $x + y = 3$, $x + 2y = -1$ で作られる三角形の外接円

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2 + y^2 - 3x + 5y - 1 = 0$ を変形して中心を求めます。

$x^2 - 3x + y^2 + 5y = 1$

$(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = 1$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = 1 + \frac{9}{4} + \frac{25}{4} = \frac{38}{4} = \frac{19}{2}$

中心は $(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$ です。求める円の方程式は、

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = r^2$

これが $(1, 2)$ を通るので、代入します。

$(1 - \frac{3}{2})^2 + (2 + \frac{5}{2})^2 = r^2$

$(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{9}{2})^2 = r^2$

$\frac{1}{4} + \frac{81}{4} = r^2$

$r^2 = \frac{82}{4} = \frac{41}{2}$

したがって、求める円の方程式は、

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{41}{2}$

(2) 円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心は $(0, 0)$ です。点 $(1, -3)$ に関して $(0, 0)$ と対称な点を $(a, b)$ とすると、

$\frac{0 + a}{2} = 1$ より $a = 2$

$\frac{0 + b}{2} = -3$ より $b = -6$

したがって、中心は $(2, -6)$ であり、半径は元の円と同じ 1 です。

求める円の方程式は、

$(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 1$

(3) 中心が $x$ 軸上にあるので、中心を $(a, 0)$ とします。2点 $(3, 5)$, $(-3, 7)$ を通るので、

$(3 - a)^2 + (5 - 0)^2 = r^2$

$(-3 - a)^2 + (7 - 0)^2 = r^2$

$(3 - a)^2 + 25 = (-3 - a)^2 + 49$

$9 - 6a + a^2 + 25 = 9 + 6a + a^2 + 49$

$-6a + 34 = 6a + 58$

$-12a = 24$

$a = -2$

中心は $(-2, 0)$ です。

半径 $r^2 = (3 - (-2))^2 + 5^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$

$r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

求める円の方程式は、

$(x + 2)^2 + y^2 = 50$

(4) 中心が直線 $y = x$ 上にあるので、中心を $(a, a)$ とします。半径が $\sqrt{13}$ で点 $(2, 1)$ を通るので、

$(2 - a)^2 + (1 - a)^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$

$4 - 4a + a^2 + 1 - 2a + a^2 = 13$

$2a^2 - 6a + 5 = 13$

$2a^2 - 6a - 8 = 0$

$a^2 - 3a - 4 = 0$

$(a - 4)(a + 1) = 0$

$a = 4, -1$

中心は $(4, 4)$, $(-1, -1)$ です。

求める円の方程式は、

$(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 13$

$(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 13$

(5) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$ 軸および $y$ 軸に接する円なので、中心を $(r, r)$ とすると、半径は $r$ です。

$(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$

$(1 - r)^2 + (2 - r)^2 = r^2$

$1 - 2r + r^2 + 4 - 4r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r - 1)(r - 5) = 0$

$r = 1, 5$

求める円の方程式は、

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

$(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$

(6) 3直線 $x - y = -1$, $x + y = 3$, $x + 2y = -1$ の交点を求めます。

$x - y = -1$ (1)

$x + y = 3$ (2)

$x + 2y = -1$ (3)

(1) + (2): $2x = 2$ より $x = 1$。 (2) より $y = 3 - x = 3 - 1 = 2$。交点は $(1, 2)$。

(2) - (3): $-y = 4$ より $y = -4$。 (2) より $x = 3 - y = 3 - (-4) = 7$。交点は $(7, -4)$。

(1) - (3): $-y - 2y = -1 - (-1)$ より $-3y = 0$。 $y = 0$。 (1) より $x = -1 + y = -1 + 0 = -1$。交点は $(-1, 0)$。

3点の座標は $A(1, 2), B(7, -4), C(-1, 0)$。

外接円の方程式を $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ とおきます。

$(1 - a)^2 + (2 - b)^2 = r^2$

$(7 - a)^2 + (-4 - b)^2 = r^2$

$(-1 - a)^2 + (0 - b)^2 = r^2$

$(1 - a)^2 + (2 - b)^2 = (7 - a)^2 + (-4 - b)^2$

$1 - 2a + a^2 + 4 - 4b + b^2 = 49 - 14a + a^2 + 16 + 8b + b^2$

$-2a - 4b + 5 = -14a + 8b + 65$

$12a - 12b - 60 = 0$

$a - b - 5 = 0$ (4)

$(1 - a)^2 + (2 - b)^2 = (-1 - a)^2 + (0 - b)^2$

$1 - 2a + a^2 + 4 - 4b + b^2 = 1 + 2a + a^2 + b^2$

$-2a - 4b + 5 = 2a + 1$

$-4a - 4b + 4 = 0$

$a + b - 1 = 0$ (5)

(4) + (5): $2a - 6 = 0$ より $a = 3$。 (5) より $b = 1 - a = 1 - 3 = -2$。

中心は $(3, -2)$。

$r^2 = (1 - 3)^2 + (2 - (-2))^2 = (-2)^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$

外接円の方程式は、

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 20$

3. 最終的な答え

(1) $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{5}{2})^2 = \frac{41}{2}$

(2) $(x - 2)^2 + (y + 6)^2 = 1$

(3) $(x + 2)^2 + y^2 = 50$

(4) $(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 13$ および $(x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 13$

(5) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ および $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 25$

(6) $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 20$