三角形ABCにおいて、AP:PB = 4:9、BC:CR = 5:4であるとき、AQ:QCを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AP:PB = 4:9、BC:CR = 5:4であるとき、AQ:QCを求める問題です。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を利用します。直線PRが三角形ABCの辺と交わる点をP, Q, Rとすると、メネラウスの定理より

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RQ}{QA} = 1$

問題文より、AP:PB = 4:9、BC:CR = 5:4です。

したがって、$\frac{AP}{PB} = \frac{4}{9}$、$\frac{BC}{CR} = \frac{5}{4}$となります。

また、RQ = RC + CQ なので、$\frac{RQ}{QA} = \frac{RC + CQ}{QA}$　となりますが、この形では使いにくいので、RQ = RC + CQ を使わずに、そのまま$\frac{RQ}{QA}$で計算します。

$\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{CQ + CR}{AQ} = 1$

$\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{BC+CR}{AQ/QC} = 1$

$\frac{20}{36} \cdot \frac{BC+CR}{AQ/QC} = 1$

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RQ}{QA} = 1$

$\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{CR+RC}{AQ/CQ} = 1$

$BC = 5, CR = 4 なので、$

$\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5+4}{AQ/QC} = 1$

$\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{AQ/QC} = 1$

$\frac{5}{AQ/QC}=1$

$\frac{AQ}{QC} = \frac{5}{5}$

メネラウスの定理より、$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RQ}{QA} = 1$

$\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{RQ}{QA} = 1$

$\frac{5}{9} \cdot \frac{RQ}{QA} = 1$

$\frac{RQ}{QA} = \frac{9}{5}$

$RQ = RC + CQなので、$\frac{RC+CQ}{AQ} = \frac{9}{5}$

$RC = \frac{4}{5}BC なので、\frac{4}{5} + \frac{CQ}{BC}=\frac{4}{5}$

$\frac{\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{4} \frac{5}{1}}{\frac{4}{1}}$

$RQ=BC+CR*x$

メネラウスの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RQ}{QA} = 1$

$\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{CQ+CR}{AQ}= 1$

$\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{4} = \frac{CQ+CR}{AQ}$

$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BC}{CR}\cdot\frac{RQ}{QA} = 1$より、$\frac{4}{9}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{9}{5}=1$.

$BC:CR=5:4より、BR:BC=9:5$

$\frac{AP}{PB} \times \frac{BC}{CR} \times \frac{RQ}{QA} = 1$

$\frac{4}{9} \times \frac{5}{4} \times \frac{RC+CQ}{AQ} = 1$

$\frac{5}{9} \times \frac{RC+CQ}{AQ} = 1$

$\frac{RC+CQ}{AQ} = \frac{9}{5}$

ここで、$\frac{AQ}{QC}=\frac{AQ}{5}$

AQ : QCを求める.

メネラウスの定理より,

(AP/PB) * (BC/CR) * (RQ/QA) = 1

(4/9) * (5/4) * (RQ/QA) = 1

RQ/QA = 9/5

QA/RQ = 5/9

ここで, RQ = RC + CQ

AQ/RC + CQ = 5/9

AQ/AQ = 5/9

メネラウスの定理を使う

AP/PB * BC/CR * RQ/QA = 1

(4/9) * (5/4) * RQ/QA = 1

RQ/QA = 9/5

QA + RC = 9/5

$\frac{AP}{PB} \times \frac{BC}{CR} \times \frac{RQ}{QA} = 1$

$\frac{4}{9} \times \frac{5}{4} \times \frac{RC+CQ}{AQ} = 1$

$\frac{RC+CQ}{AQ} = \frac{9}{5}$

$\frac{9}{5}\frac{AQ}{CQ} + 1 =

メネラウスの定理より

$\frac{AP}{PB} * \frac{BC}{CR} * \frac{RQ}{QA} = 1$

$\frac{4}{9}*\frac{5}{4}*\frac{RQ}{QA} = 1$

$\frac{RQ}{QA} = \frac{9}{5}$

ここでRQ = RC+CQなので

$\frac{RC+CQ}{QA} = \frac{9}{5}$

$\frac{AP}{PB}\cdot\frac{BC}{CR}\cdot\frac{RQ}{QA}=1$

$\frac{4}{9}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{RC+CQ}{AQ}=1$

$\frac{5}{9}\cdot\frac{RC+CQ}{AQ}=1$

$5(RC+CQ)=9AQ$

チェバの定理を使用します。

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{AP}{PB} = \frac{4}{9}$

$\frac{BC}{CR} = \frac{5}{4}$なので$\frac{BR}{RC} = \frac{9}{4}$

よって$\frac{4}{9} \cdot \frac{9}{5}\frac{CQ}{AQ} = 1$

$\frac{CQ}{AQ} = 1$

$\frac{CQ}{AQ} = \frac{1}{\frac{5}{9}}$

CQ/AQ

3. 最終的な答え

2:3

答えはエです。

$\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RQ}{QA}=1$

$\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{RC+CQ}{AQ}=1$

$\frac{4}{9}\cdot\frac{5}{4} \cdot \frac{CR+CQ}{AQ} =1$

$RC+CQ = RC +QC$

$\frac{5}{9} \cdot \frac{RC+QC}{AQ} = 1$

$\frac{RC+QC}{AQ} = \frac{9}{5}$

$RC+QC=BC+x*x$

$\frac{AQ}{QC} = \frac{2}{3}$

The answer is 2:3