2点 $A(-1, 4)$ と $B(3, 2)$ から等距離にある、$x$軸上の点 $P$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

2点 $A(-1, 4)$ と $B(3, 2)$ から等距離にある、$x$軸上の点 $P$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

$x$軸上の点 $P$ の座標を $(a, 0)$ とする。

$A$ と $P$ の距離 $AP$、および $B$ と $P$ の距離 $BP$ をそれぞれ計算し、$AP = BP$ となる $a$ の値を求める。

$AP = \sqrt{(a - (-1))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(a+1)^2 + 16}$

$BP = \sqrt{(a - 3)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(a-3)^2 + 4}$

$AP = BP$ より、$\sqrt{(a+1)^2 + 16} = \sqrt{(a-3)^2 + 4}$。

両辺を2乗して、$(a+1)^2 + 16 = (a-3)^2 + 4$。

これを展開すると、$a^2 + 2a + 1 + 16 = a^2 - 6a + 9 + 4$。

整理すると、$a^2 + 2a + 17 = a^2 - 6a + 13$。

$a^2$ の項を消去すると、$2a + 17 = -6a + 13$。

$8a = -4$。

$a = -\frac{1}{2}$。

したがって、$P$ の座標は $(-\frac{1}{2}, 0)$ である。

3. 最終的な答え

$(-\frac{1}{2}, 0)$