$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ の中点を $P$、辺 $BC$ の中点を $M$、線分 $AM$ を $1:2$ に内分する点を $Q$、辺 $AC$ を $1:3$ に内分する点を $R$ とします。このとき、3点 $P, Q, R$ が一直線上にあることを証明します。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $AB$ の中点を $P$、辺 $BC$ の中点を $M$、線分 $AM$ を $1:2$ に内分する点を $Q$、辺 $AC$ を $1:3$ に内分する点を $R$ とします。このとき、3点 $P, Q, R$ が一直線上にあることを証明します。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて解きます。

$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とします。

点 $P$ は辺 $AB$ の中点なので、$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$ です。

点 $M$ は辺 $BC$ の中点なので、$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$ です。

点 $Q$ は線分 $AM$ を $1:2$ に内分するので、

$\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$ です。

点 $R$ は辺 $AC$ を $1:3$ に内分するので、$\overrightarrow{AR} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} = \frac{1}{4}\vec{c}$ です。

次に、$\overrightarrow{PR}$ と $\overrightarrow{PQ}$ を求めます。

$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{AR} - \overrightarrow{AP} = \frac{1}{4}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}$ です。

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} = \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c} - \frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$ です。

ここで、$\overrightarrow{PR} = k\overrightarrow{PQ}$ となる実数 $k$ が存在することを示せば、$P, Q, R$ が一直線上にあることが証明できます。

$-\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c} = k(-\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c})$

係数を比較すると、

$-\frac{1}{2} = -\frac{1}{3}k$ より、$k = \frac{3}{2}$ です。

$\frac{1}{4} = \frac{1}{6}k$ より、$k = \frac{3}{2}$ です。

したがって、$k = \frac{3}{2}$ となり、$\overrightarrow{PR} = \frac{3}{2}\overrightarrow{PQ}$ が成立します。

したがって、3点 $P, Q, R$ は一直線上にあります。

3. 最終的な答え

3点 P, Q, R は一直線上にある。