平行四辺形の3つの頂点A(3, 0, -4), B(-2, 5, -1), C(4, 3, 2)が与えられたとき、第4の頂点Dの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

平行四辺形の3つの頂点A(3, 0, -4), B(-2, 5, -1), C(4, 3, 2)が与えられたとき、第4の頂点Dの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

平行四辺形ABCDを考えます。平行四辺形の性質より、対角線の中点が一致します。

この性質を利用して、点Dの座標を求めます。

まず、ACの中点Mの座標を求めます。

$M = (\frac{3+4}{2}, \frac{0+3}{2}, \frac{-4+2}{2}) = (\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, -1)$

次に、BDの中点もMであることから、D(x, y, z)とすると、

$(\frac{-2+x}{2}, \frac{5+y}{2}, \frac{-1+z}{2}) = (\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, -1)$

したがって、

$\frac{-2+x}{2} = \frac{7}{2}$

$-2+x = 7$

$x = 9$

$\frac{5+y}{2} = \frac{3}{2}$

$5+y = 3$

$y = -2$

$\frac{-1+z}{2} = -1$

$-1+z = -2$

$z = -1$

よって、点Dの座標は(9, -2, -1)です。

次に、平行四辺形ABDCを考えます。この場合、ADとBCが平行で長さが等しいです。

$\vec{BC} = (4-(-2), 3-5, 2-(-1)) = (6, -2, 3)$

D(x, y, z)とすると、

$\vec{AD} = (x-3, y-0, z-(-4)) = (x-3, y, z+4)$

$\vec{AD} = \vec{BC}$より、

$x-3 = 6 \implies x = 9$

$y = -2$

$z+4 = 3 \implies z = -1$

よって、D(9, -2, -1)

最後に、平行四辺形ADBCを考えます。この場合、ABとCDが平行で長さが等しいです。

$\vec{AB} = (-2-3, 5-0, -1-(-4)) = (-5, 5, 3)$

$\vec{CD} = (x-4, y-3, z-2)$

$\vec{CD} = \vec{AB}$より、

$x-4 = -5 \implies x = -1$

$y-3 = 5 \implies y = 8$

$z-2 = 3 \implies z = 5$

よって、D(-1, 8, 5)

3. 最終的な答え

D(9, -2, -1)またはD(-1, 8, 5)

問題文からどの順番で点を結んで平行四辺形ができるか判別できないため、平行四辺形ABCDの場合と平行四辺形ADBCの場合のDの座標を示します。

よって、答えはD(9, -2, -1)またはD(-1, 8, 5)です。