平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを3等分する点のうちCに近い方をEとする。直線AEとBDの交点をFとするとき、線分AFとAEの比 $AF:AE$ を求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを3等分する点のうちCに近い方をEとする。直線AEとBDの交点をFとするとき、線分AFとAEの比 $AF:AE$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて解く。

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$ とおく。

点Eは辺BCを3等分する点のうちCに近い方なので、$\vec{BE} = \frac{1}{3}\vec{BC} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{d}$.

$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{d}$.

点Fは直線AE上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\vec{AF} = s\vec{AE} = s\vec{b} + \frac{s}{3}\vec{d}$ と表せる。

一方、点Fは直線BD上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\vec{AF} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AD} = (1-t)\vec{b} + t\vec{d}$ と表せる。

$\vec{b}$ と $\vec{d}$ は一次独立なので、

$s = 1-t$ および $\frac{s}{3} = t$.

これらを解いて、$s = 1 - \frac{s}{3}$ より $\frac{4}{3}s = 1$、よって $s = \frac{3}{4}$.

したがって、$\vec{AF} = \frac{3}{4}\vec{AE}$ であるから、$AF:AE = 3:4$.

3. 最終的な答え

$AF:AE = 3:4$