平行四辺形OABCにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をD、辺ABを2:1に外分する点をEとします。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OC} = \vec{c}$としたとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明してください。

1. 問題の内容

平行四辺形OABCにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をD、辺ABを2:1に外分する点をEとします。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OC} = \vec{c}$としたとき、3点O, D, Eが一直線上にあることを証明してください。

2. 解き方の手順

まず、点Dと点Eの位置ベクトルを$\vec{a}$と$\vec{c}$を用いて表します。

点Dは対角線ACを2:1に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{1\cdot\vec{OA} + 2\cdot\vec{OC}}{2+1} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}$

点Eは辺ABを2:1に外分するので、$\vec{OB}=\vec{a}+\vec{c}$であることより、

$\vec{OE} = \frac{-1\cdot\vec{OA} + 2\cdot\vec{OB}}{2-1} = -1\cdot\vec{a} + 2\cdot(\vec{a} + \vec{c}) = \vec{a} + 2\vec{c}$

次に、$\vec{OE}$が$\vec{OD}$のスカラー倍で表せることを示します。つまり、$\vec{OE} = k\vec{OD}$となる実数kが存在することを示します。

$\vec{OE} = \vec{a} + 2\vec{c} = 3(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}) = 3\vec{OD}$

したがって、$\vec{OE} = 3\vec{OD}$ となるので、$\vec{OE}$は$\vec{OD}$のスカラー倍で表されます。これは、3点O, D, Eが同一直線上にあることを意味します。

3. 最終的な答え

3点O, D, Eは一直線上にある。