平面上に$OA = 1$, $OB = \sqrt{2}$, $\cos{\angle AOB} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$である$\triangle OAB$がある。辺$AB$を$1:2$に内分する点を$P$とする。$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求め、$ \vec{OP}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表す。次に、直線$OP$に関して、$A$と対称な点を$Q$とする。線分$AQ$と直線$OP$の交点を$H$とすると、$H$は線分$AQ$の中点であるから、$\vec{OQ}$を$\vec{OA}$, $\vec{OB}$を用いて表す。点$H$は直線$OP$上にあるから、実数$k$を用いて$\vec{OH} = k\vec{OP}$と表される。これより、$\vec{AH}$を$\vec{OA}$, $\vec{OB}$と$k$を用いて表す。

1. 問題の内容

平面上に$OA = 1$, $OB = \sqrt{2}$, $\cos{\angle AOB} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$である$\triangle OAB$がある。辺$AB$を$1:2$に内分する点を$P$とする。$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求め、$\vec{OP}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表す。次に、直線$OP$に関して、$A$と対称な点を$Q$とする。線分$AQ$と直線$OP$の交点を$H$とすると、$H$は線分$AQ$の中点であるから、$\vec{OQ}$を$\vec{OA}$, $\vec{OB}$を用いて表す。点$H$は直線$OP$上にあるから、実数$k$を用いて$\vec{OH} = k\vec{OP}$と表される。これより、$\vec{AH}$を$\vec{OA}$, $\vec{OB}$と$k$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求める。

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |OA||OB|\cos{\angle AOB} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$

よって、アは1, イは2。

次に、$\vec{OP}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表す。

点$P$は線分$AB$を$1:2$に内分するので、

$\vec{OP} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}$

よって、ウは2, エは3, オは1, カは3。

点$H$は線分$AQ$の中点なので、$\vec{OQ} = \vec{OA} + 2\vec{AH}$。

したがって、キは2。

$\vec{OH} = k\vec{OP}$より、$\vec{OH} = k(\frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}) = \frac{2k}{3}\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB}$

また、点$H$は線分$AQ$の中点なので、$\vec{OH} = \frac{\vec{OA} + \vec{OQ}}{2}$

$\vec{OQ} = \vec{OA} + 2\vec{AH}$より、$2\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OQ} = \vec{OA} + \vec{OA} + 2\vec{AH}$

$2\vec{OH} = 2\vec{OA} + 2\vec{AH}$より、$\vec{AH} = \vec{OH} - \vec{OA} = \frac{2k}{3}\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB} - \vec{OA}$

$\vec{AH} = (\frac{2k}{3}-1)\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB}$

$\vec{AH} = (\frac{2k-3}{3})\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB}$

よって、クは2, ケは3, コは3, サは1, シは3。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 2

ウ: 2

エ: 3

オ: 1

カ: 3

キ: 2

ク: 2

ケ: 3

コ: 3

サ: 1

シ: 3