三角形OABにおいて、辺OAの中点をM、辺OBを2:3に内分する点をNとする。直線ANとBMの交点をPとするとき、ベクトルOPをベクトルOA = $\vec{a}$とベクトルOB = $\vec{b}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAの中点をM、辺OBを2:3に内分する点をNとする。直線ANとBMの交点をPとするとき、ベクトルOPをベクトルOA = $\vec{a}$とベクトルOB = $\vec{b}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点Pは直線AN上にあるので、実数sを用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{ON}$

と表せる。

また、点NはOBを2:3に内分するので、

$\vec{ON} = \frac{2}{5}\vec{OB} = \frac{2}{5}\vec{b}$

したがって、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + s(\frac{2}{5}\vec{b}) = (1-s)\vec{a} + \frac{2}{5}s\vec{b}$

次に、点Pは直線BM上にあるので、実数tを用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM}$

と表せる。

また、点MはOAの中点なので、

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$

したがって、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t(\frac{1}{2}\vec{a}) = \frac{1}{2}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、係数を比較して

$1-s = \frac{1}{2}t$

$\frac{2}{5}s = 1-t$

この連立方程式を解く。

第一式より、$t = 2 - 2s$

これを第二式に代入して、

$\frac{2}{5}s = 1 - (2 - 2s)$

$\frac{2}{5}s = -1 + 2s$

$2s = -5 + 10s$

$8s = 5$

$s = \frac{5}{8}$

したがって、$t = 2 - 2(\frac{5}{8}) = 2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$

よって、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{2}{5}s\vec{b} = (1 - \frac{5}{8})\vec{a} + \frac{2}{5}(\frac{5}{8})\vec{b} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

または、

$\vec{OP} = \frac{1}{2}t\vec{a} + (1-t)\vec{b} = \frac{1}{2}(\frac{3}{4})\vec{a} + (1 - \frac{3}{4})\vec{b} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$