半径10の円に内接する正$n$角形の1辺の長さを求め、また、円の中心から正$n$角形の1辺に下ろした垂線の長さを求める。

1. 問題の内容

半径10の円に内接する正$n$角形の1辺の長さを求め、また、円の中心から正$n$角形の1辺に下ろした垂線の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、円の中心をO、正$n$角形の頂点をA,Bとする。このとき、三角形OABは二等辺三角形となる。

角AOBは、正$n$角形の中心角なので、

$\angle{AOB} = \frac{2\pi}{n}$

二等辺三角形OABにおいて、OA=OB=10である。

ABの中点をMとすると、OMはABに対する垂線となる。また、AM=MBである。

三角形OAMにおいて、$\angle{AOM} = \frac{\pi}{n}$となる。

正$n$角形の1辺の長さABは、

$AB = 2AM = 2OA \sin(\frac{\pi}{n}) = 2 \cdot 10 \sin(\frac{\pi}{n}) = 20 \sin(\frac{\pi}{n})$

円の中心から正$n$角形の1辺に下ろした垂線の長さOMは、

$OM = OA \cos(\frac{\pi}{n}) = 10 \cos(\frac{\pi}{n})$

3. 最終的な答え

正$n$角形の1辺の長さ: $20 \sin(\frac{\pi}{n})$

円の中心から正$n$角形の1辺に下ろした垂線の長さ: $10 \cos(\frac{\pi}{n})$