三角形ABCにおいて、RB=5, BP=3, PC=8, CQ=5, QA=3であり、線分AP, BQ, CRは1点Xで交わっている。このとき、線分ARの長さ、および線分比CX:XRを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、RB=5, BP=3, PC=8, CQ=5, QA=3であり、線分AP, BQ, CRは1点Xで交わっている。このとき、線分ARの長さ、および線分比CX:XRを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、チェバの定理を用いる。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、各辺に点P, Q, Rがそれぞれ存在し、線分AP, BQ, CRが1点で交わるとき、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立つというものである。

この問題では、ARの長さを求めるためにチェバの定理を利用する。

ARの長さを$x$とおくと、$\frac{x}{5} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{3} = 1$

$\frac{15x}{120} = 1$

$15x = 120$

$x = \frac{120}{15} = 8$

したがって、AR = 8となる。

次に、メネラウスの定理を用いる。メネラウスの定理とは、三角形ABCにおいて、直線lが辺BC, CA, AB（またはその延長）とそれぞれP, Q, Rで交わるとき、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立つというものである。

ここでは三角形ARBに対して直線CXを考える。

$\frac{BC}{CP} \cdot \frac{PX}{XA} \cdot \frac{AQ}{QB}=1$

したがって、$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BX}{XQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

$\frac{AX}{XP} \cdot \frac{PC}{CB} \cdot \frac{BR}{RA} = 1$

$\frac{AC}{CQ} \cdot \frac{QX}{XB} \cdot \frac{BR}{RA} = 1$

今回は、三角形ARPに対して直線BCを考える.

$\frac{RB}{BA}\frac{AQ}{QC} \frac{CP}{PR} = 1$

$CX/XR$を求めるために、三角形BCRに点Aを考える。

$\frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} \times \frac{AR}{RB} = \frac{3}{8} \times \frac{5}{3} \times \frac{AR}{5} = 1$.

$AR = 8$。

三角形ACRと直線BQにおいてメネラウスの定理を用いる。

$\frac{AQ}{QC} \times \frac{CB}{BP} \times \frac{PX}{XA} = 1$

$\frac{AP}{PC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QA}{AR} = 1$

三角形BCRに対し、直線AXを考えると、メネラウスの定理より、

$\frac{BP}{PC} \cdot \frac{CX}{XR} \cdot \frac{RA}{AB} = 1$

$\frac{3}{8} \cdot \frac{CX}{XR} \cdot \frac{8}{5+8} = 1$

$\frac{3}{8} \cdot \frac{CX}{XR} \cdot \frac{8}{13} = 1$

$\frac{24}{104} \cdot \frac{CX}{XR} = 1$

$\frac{CX}{XR} = \frac{104}{24} = \frac{13}{3}$

3. 最終的な答え

AR = 8, CX:XR = 13:3

したがって、選択肢アが正解である。