三角形ABCにおいて、点Aから辺BCに垂線AHを下ろす。線分AHを直径とする円Oと辺AB, ACの交点をそれぞれD, Eとする。円Oの半径は1, BH=1, CE=3である。 (1) 線分DBの長さを求めよ。 (2) 線分HCと線分CAの長さをそれぞれ求めよ。 (3) 角EDHの大きさを求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Aから辺BCに垂線AHを下ろす。線分AHを直径とする円Oと辺AB, ACの交点をそれぞれD, Eとする。円Oの半径は1, BH=1, CE=3である。

(1) 線分DBの長さを求めよ。

(2) 線分HCと線分CAの長さをそれぞれ求めよ。

(3) 角EDHの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分DBの長さを求める。

AHは円Oの直径なので、角ADHは直角である。したがって、三角形ADHは直角三角形である。

また、角ADBも直角である。

三角形ABHにおいて、三平方の定理より、

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$AH = 2$ (半径1の円の直径)

$BH = 1$

なので、

$AB^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$AB = \sqrt{5}$

方べきの定理より、

$BD \cdot BA = BH^2$

$BD \cdot \sqrt{5} = 1^2 = 1$

$BD = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

したがって、

$DB = AB - AD$ より

$AD = AB - DB$

$DB=AD - AB$

$AD \cdot AB = AH^2$

$AD \sqrt{5} = 4$

$AD = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

$DB = AB - AD = \sqrt{5} - \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{5\sqrt{5} - 4\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) 線分HCと線分CAの長さをそれぞれ求める。

$HC = BC - BH$

$BC = BH + HC$

三角形ACHにおいて、三平方の定理より、

$AC^2 = AH^2 + HC^2$

方べきの定理より、

$CE \cdot CA = CH \cdot CB$

$AE \cdot AC = CE \cdot CH$

$CE = 3$

$AE = AC$

$AE \cdot AC=AH^2$

$CA \cdot AE= AH \cdot AH = 2^2 = 4$

$AC \cdot AE=AH^2$

$AE \cdot EC=DE \cdot EB$

$AC= \sqrt{AH^2 + HC^2}$

$AC^2=AH^2+CH^2$

$HC = \sqrt{AC^2-4}$

$CE=3$, $AH=2$

$CA\cdot CE=HA^2$

$CA=BC$

$AC \cdot EC= CA \cdot CE$

$2* AE * AD$

円に内接する四角形ADEHにおいて、対角の和は180度なので、角DEH = 180 - 角AHE = 90度.

CH * CB = CE * CA より

AC = BC, CE=3 BH=1 AH=2

CH= xとすると

AC^2= (1+ x)^2= x^2+ 4

AC^2= x^2+4

1+2x+x^2= x^2+4

2x=3

x=3/2

$HC = 3/2$

$AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{16+9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$

$AC = \frac{5}{2}$

(3) 角EDHの大きさを求める。

ADHEは円に内接する四角形なので、$ADHE$の内角の和は$360^\circ$。

$\angle EDH = 90^\circ$

3. 最終的な答え

(1) DBの長さ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) HCの長さ: $\frac{3}{2}$, CAの長さ: $\frac{5}{2}$

(3) 角EDHの大きさ: $90^\circ$