次の円の方程式を求めます。 (1) 円 $x^2+y^2-3x+5y-1=0$ と中心が同じで、点$(1,2)$を通る円 (2) 点 $(1, -3)$ に関して、円 $x^2+y^2=1$ と対称な円 (5) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$軸および$y$軸に接する円

はい、承知しました。円の方程式の問題ですね。

問題文に\*マークがついている問題、（1）、（2）、（5）について解答します。

1. 問題の内容

次の円の方程式を求めます。

(1) 円 $x^2+y^2-3x+5y-1=0$ と中心が同じで、点$(1,2)$を通る円

(2) 点 $(1, -3)$ に関して、円 $x^2+y^2=1$ と対称な円

(5) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$軸および$y$軸に接する円

2. 解き方の手順

(1) 円 $x^2+y^2-3x+5y-1=0$ の中心を求めます。

$x^2-3x+y^2+5y=1$

$(x-\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + (y+\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 = 1$

$(x-\frac{3}{2})^2 + (y+\frac{5}{2})^2 = 1 + \frac{9}{4} + \frac{25}{4} = \frac{4+9+25}{4} = \frac{38}{4} = \frac{19}{2}$

よって、中心は$(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$。

求める円の方程式は、中心$(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2})$ で、点$(1,2)$ を通るので、

$(x-\frac{3}{2})^2 + (y+\frac{5}{2})^2 = r^2$

$(1-\frac{3}{2})^2 + (2+\frac{5}{2})^2 = r^2$

$(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{9}{2})^2 = r^2$

$\frac{1}{4} + \frac{81}{4} = r^2$

$r^2 = \frac{82}{4} = \frac{41}{2}$

したがって、円の方程式は $(x-\frac{3}{2})^2 + (y+\frac{5}{2})^2 = \frac{41}{2}$

(2) 点 $(1, -3)$ に関して、円 $x^2+y^2=1$ と対称な円を求めます。

円 $x^2+y^2=1$ の中心は $(0, 0)$ で半径は $1$ です。

点 $(1, -3)$ に関して点 $(0, 0)$ と対称な点を $(x, y)$ とすると、

$\frac{x+0}{2} = 1$ より $x = 2$

$\frac{y+0}{2} = -3$ より $y = -6$

したがって、求める円の中心は $(2, -6)$ で、半径は $1$ です。

よって、円の方程式は $(x-2)^2 + (y+6)^2 = 1$

(5) 点 $(1, 2)$ を通り、$x$軸および$y$軸に接する円を求めます。

$x$軸、$y$軸に接するので、円の中心は $(r, r)$ とおくことができます。

円の方程式は $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$

点 $(1, 2)$ を通るので、 $(1-r)^2 + (2-r)^2 = r^2$

$1-2r+r^2 + 4-4r+r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r-1)(r-5) = 0$

$r = 1, 5$

$r=1$ のとき、円の方程式は $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$

$r=5$ のとき、円の方程式は $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $(x-\frac{3}{2})^2 + (y+\frac{5}{2})^2 = \frac{41}{2}$

(2) $(x-2)^2 + (y+6)^2 = 1$

(5) $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ と $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$