問題は、AB=ACである二等辺三角形ABCがあり、点Aが点Cに重なるように折り曲げて四角形DBCEを作ったものです。 (1) ∠BCD = 15°のとき、∠Bの大きさを求めます。 (2) AB=12, DB=3のとき、DEの長さを求め、四角形DBCEの面積を求めます。

1. 問題の内容

問題は、AB=ACである二等辺三角形ABCがあり、点Aが点Cに重なるように折り曲げて四角形DBCEを作ったものです。

(1) ∠BCD = 15°のとき、∠Bの大きさを求めます。

(2) AB=12, DB=3のとき、DEの長さを求め、四角形DBCEの面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ∠BCD = 15°のとき、∠Bの大きさを求める

三角形ABCは二等辺三角形なので、∠BAC = ∠BCAです。

∠BCD = 15°なので、∠DCA = ∠BAC - 15°となります。

また、折り返しているので、∠DAC = ∠DCAです。

∠DAC = ∠BAC - 15°

∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°

∠ABC = ∠BAC + 15°

よって、∠BAC + (∠BAC + 15) + (∠BAC + 15) = 180

3∠BAC + 30 = 180

3∠BAC = 150

∠BAC = 50°

したがって、∠ABC = 50 + 15 = 65°

(2) AB=12, DB=3のとき、DEの長さを求める

AD = DCなので、AB = AC = AD + DC = 12。

DB = 3なので、AD = DC = 12 - 3 = 9。

また、DEは折り返しの線なので、DEはBCを垂直に二等分します。

DEを延長した点をFとすると、三角形DBFは直角三角形となります。

DFはBCを垂直に二等分するので、∠DFB = 90°。

三角形DBFにおいて、DB = 3、DC = 9、BF = FCとする。

また、三角形DFCも直角三角形です。

三角形DFCにおいて、DC = 9、FC = BF、DE = EFとする。

$DE = x$とおく。

DEはBCの垂直二等分線であるから、DEとBCの交点をGとすると、三角形DBGは直角三角形である。

したがって、$DB^2 = DG^2 + BG^2$

$3^2 = DG^2 + BG^2$

三角形ABCにおいて、AB=AC=12,BC=xとおくと、

BC=2BG

ここで、問題文の図から判断すると、三角形ADEと三角形CDEは合同である。

また、AD = DC = 9である。

よって、三角形BDEにおいて、AB=12,DB=3,AD=9となる。

三角形ADEにおいて、AD=9、DE=x,AE=6となる。

$AD^2 = AE^2 + DE^2$

$9^2 = 6^2 + DE^2$

$81 = 36 + DE^2$

$DE^2 = 45$

$DE = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

(3) 四角形DBCEの面積を求める

DE = 3√5なので、EC = AE =

6. 三角形DECの面積は、1/2 * AE * DE = 1/2 * 6 * 3√5 = 9√5

三角形DBEの面積は、1/2 * DE * BE = 1/2 * 3√5 * 6= 9√5

四角形DBCEの面積は、三角形DEC + 三角形DBE = 9√5 + 9√5 = 18√5

3. 最終的な答え

(1) ∠B = 65°

(2) ① DE = $3\sqrt{5}$

② 四角形DBCEの面積 = $18\sqrt{5}$