$\triangle ABC$ において、$\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$ が成り立つとき、この三角形はどのような形か答えよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$ が成り立つとき、この三角形はどのような形か答えよ。

2. 解き方の手順

$\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c} = k$ とおく。ここで $k$ はある定数である。

すると、

$\cos A = ak$

$\cos B = bk$

$\cos C = ck$

正弦定理より、 $a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$, $c = 2R\sin C$ (ただし $R$ は $\triangle ABC$ の外接円の半径) と表せる。

したがって、

$\cos A = 2Rk \sin A$

$\cos B = 2Rk \sin B$

$\cos C = 2Rk \sin C$

これより、$\frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\cos C}{\sin C} = 2Rk$ が成り立つ。

$\frac{\cos A}{\sin A} = \cot A$ より、$\cot A = \cot B = \cot C$

よって、$A = B = C$ となり、$\triangle ABC$ は正三角形である。

別解:

余弦定理より

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$ に代入すると

$\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2abc} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2abc} = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2abc}$

これより、

$b^2 + c^2 - a^2 = a^2 + c^2 - b^2 = a^2 + b^2 - c^2$

$b^2 + c^2 - a^2 = a^2 + c^2 - b^2$ より $2b^2 = 2a^2$ つまり $a^2 = b^2$

$a > 0$, $b > 0$ より $a = b$

$a^2 + c^2 - b^2 = a^2 + b^2 - c^2$ より $2c^2 = 2b^2$ つまり $c^2 = b^2$

$c > 0$, $b > 0$ より $c = b$

したがって、$a = b = c$ となり、$\triangle ABC$ は正三角形である。

3. 最終的な答え

正三角形