三角形ABCにおいて、 $\sin A \cos A = \sin B \cos B + \sin C \cos C$ が成り立つとき、この三角形はどのような形か。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、

$\sin A \cos A = \sin B \cos B + \sin C \cos C$

が成り立つとき、この三角形はどのような形か。

2. 解き方の手順

正弦定理と余弦定理を用いて、$\sin A, \cos A, \sin B, \cos B, \sin C, \cos C$ を辺 $a, b, c$ と外接円の半径 $R$ で表す。

正弦定理より、

$\sin A = \frac{a}{2R}$,

$\sin B = \frac{b}{2R}$,

$\sin C = \frac{c}{2R}$.

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,

$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$,

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.

与えられた式に代入すると、

$\frac{a}{2R} \cdot \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{b}{2R} \cdot \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} + \frac{c}{2R} \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

両辺に $4abcR$ をかけると、

$2a^2(b^2 + c^2 - a^2) = 2b^2(c^2 + a^2 - b^2) + 2c^2(a^2 + b^2 - c^2)$

$a^2(b^2 + c^2 - a^2) = b^2(c^2 + a^2 - b^2) + c^2(a^2 + b^2 - c^2)$

$a^2 b^2 + a^2 c^2 - a^4 = b^2 c^2 + a^2 b^2 - b^4 + a^2 c^2 + b^2 c^2 - c^4$

$-a^4 = 2b^2c^2 - b^4 - c^4$

$b^4 + c^4 - a^4 = 2b^2 c^2$

$b^4 + 2b^2 c^2 + c^4 - 4b^2 c^2 - a^4 = 0$

$(b^2 + c^2)^2 - a^4 = 4b^2c^2$

$(b^2 + c^2)^2 - a^4 = 4b^2c^2$

移項して

$a^4 = b^4 + c^4 - 2b^2c^2$

$a^4 = (b^2 - c^2)^2$

$a^2 = b^2 - c^2$

したがって，$b^2 = a^2 + c^2$ となる。

3. 最終的な答え

$b$ を斜辺とする直角三角形