$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $2:5$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\vec{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ。 (2) 線分 $OP$ の延長と線分 $AB$ の交点を $E$ とするとき、$OP:PE$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $2:5$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$ とするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\vec{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表せ。

(2) 線分 $OP$ の延長と線分 $AB$ の交点を $E$ とするとき、$OP:PE$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点 $P$ は線分 $AD$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{a} + s\frac{2}{7}\vec{b}$

と表せる。

また、点 $P$ は線分 $BC$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = t\vec{OC} + (1-t)\vec{OB} = t\frac{3}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

と表せる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{3}{5}t$

$\frac{2}{7}s = 1-t$

この連立方程式を解く。

第1式より、$t = \frac{5}{3}(1-s)$

これを第2式に代入して、

$\frac{2}{7}s = 1 - \frac{5}{3}(1-s) = 1 - \frac{5}{3} + \frac{5}{3}s$

$\frac{2}{7}s - \frac{5}{3}s = -\frac{2}{3}$

$\frac{6-35}{21}s = -\frac{2}{3}$

$-\frac{29}{21}s = -\frac{2}{3}$

$s = \frac{2}{3} \cdot \frac{21}{29} = \frac{14}{29}$

$t = \frac{5}{3}(1 - \frac{14}{29}) = \frac{5}{3} \cdot \frac{15}{29} = \frac{25}{29}$

よって、

$\vec{OP} = (1-\frac{14}{29})\vec{a} + \frac{14}{29} \cdot \frac{2}{7} \vec{b} = \frac{15}{29}\vec{a} + \frac{4}{29}\vec{b}$

または、

$\vec{OP} = \frac{25}{29} \cdot \frac{3}{5} \vec{a} + (1-\frac{25}{29})\vec{b} = \frac{15}{29}\vec{a} + \frac{4}{29}\vec{b}$

(2)

点 $E$ は線分 $AB$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて

$\vec{OE} = k\vec{OA} + (1-k)\vec{OB} = k\vec{a} + (1-k)\vec{b}$

と表せる。

また、点 $E$ は線分 $OP$ の延長線上にあるので、実数 $l$ を用いて

$\vec{OE} = l\vec{OP} = l(\frac{15}{29}\vec{a} + \frac{4}{29}\vec{b}) = \frac{15l}{29}\vec{a} + \frac{4l}{29}\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$k = \frac{15l}{29}$

$1-k = \frac{4l}{29}$

この連立方程式を解く。

$1 = \frac{15l}{29} + \frac{4l}{29} = \frac{19l}{29}$

$l = \frac{29}{19}$

よって、$\vec{OE} = \frac{29}{19} \vec{OP}$

$\vec{OP} = \frac{19}{29} \vec{OE}$

したがって、$OP:PE = 19:(29-19) = 19:10$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{15}{29}\vec{a} + \frac{4}{29}\vec{b}$

(2) $OP:PE = 19:10$