三角形ABCにおいて、$\sin A \cos A = \sin B \cos B + \sin C \cos C$ が成り立つとき、この三角形はどのような三角形か。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\sin A \cos A = \sin B \cos B + \sin C \cos C$ が成り立つとき、この三角形はどのような三角形か。

2. 解き方の手順

まず、倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を利用して、与えられた等式を変形します。

$\sin A \cos A = \sin B \cos B + \sin C \cos C$

$\frac{1}{2} \sin 2A = \frac{1}{2} \sin 2B + \frac{1}{2} \sin 2C$

両辺に2をかけると、

$\sin 2A = \sin 2B + \sin 2C$

ここで、三角関数の和積の公式 $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$ を用います。

$\sin 2A = 2 \sin (B+C) \cos (B-C)$

三角形の内角の和は$\pi$なので、$A+B+C = \pi$ より $B+C = \pi - A$ です。従って、$\sin(B+C) = \sin(\pi - A) = \sin A$ が成り立ちます。

また、$2A=2\pi - 2(B+C)$より$\sin 2A = \sin (2\pi - 2(B+C))= -\sin 2(B+C)$

$\sin 2A = 2 \sin A \cos (B-C)$

ここで、$2A = \pi - (B+C)$より

$\sin2A = \sin(2(\pi-(B+C))= \sin 2(B+C) = 2 \sin(B+C) \cos(B+C)$

$\sin A = \sin (B+C)$なので、$A=B+C$または$A+B+C=\pi$.

$A = \pi/2$ のとき$\sin2A = 0$.

$\sin2A=0$であれば$\sin 2B + \sin2C =0$であり$\sin 2B = - \sin 2C= \sin (-2C)$.

したがって、$2B=-2C$つまり$B=-C$または$2B+2C=\pi$.

$A+B+C=\pi$であることから$2B+2C=2\pi-2A$,よって$\sin 2A=0$であり、 $\sin 2B = -\sin 2C$となる。

$\sin A = \sin(\pi - (B+C)) = \sin (B+C)$であるから、

$2 \sin (B+C) \cos (B+C) = 2 \sin (B+C) \cos(B-C)$

$\sin(B+C) = \sin A \neq 0$なので、$2 \sin A$で割ると、

$\cos (B+C) = \cos (B-C)$

したがって、$B+C = B-C$ または $B+C = -(B-C)$ が成り立ちます。

$B+C = B-C$ のとき $C = 0$ となり矛盾します。

$B+C = -B+C$ のとき $2B = 0$ つまり $B = 0$ となり矛盾します。

$B+C = \pi - A$ を代入すると、

$\sin 2A=2\sin A \cos (B-C)$

$2\sin A \cos A = 2\sin A \cos(B-C)$

$\sin A \ne 0$より

$\cos A = \cos(B-C)$

$A = B-C$ または $A=C-B$ または $A = C-B+2n\pi$

三角形の内角なので、

$A = B-C$ より $A-B+C=0$、$A+B+C = \pi$より$2A+2C=\pi$つまり$A+C=\pi/2$で、$B=\pi/2$

または$A = C-B$ より $A+B-C=0$、$A+B+C = \pi$より$2A+2B=\pi$つまり$A+B=\pi/2$で、$C=\pi/2$

よって、$B=\frac{\pi}{2}$か$C=\frac{\pi}{2}$である。つまり、直角三角形である。

3. 最終的な答え

直角三角形