座標平面上に点 $A(1, 1)$ がある。 (1) 直線 $y=2x$ に関して点 $A$ と対称となる点 $B$ の座標を求めよ。 (2) 直線 $y=\frac{1}{2}x$ に関して点 $A$ と対称となる点 $C$ の座標を求めよ。 (3) 点 $P$ は直線 $y=2x$ 上にあり、点 $Q$ は直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上にある。3点 $A, P, Q$ は同一直線上にないとする。このとき、$\triangle APQ$ の周の長さを最小にする点 $P, Q$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に点 $A(1, 1)$ がある。

(1) 直線 $y=2x$ に関して点 $A$ と対称となる点 $B$ の座標を求めよ。

(2) 直線 $y=\frac{1}{2}x$ に関して点 $A$ と対称となる点 $C$ の座標を求めよ。

(3) 点 $P$ は直線 $y=2x$ 上にあり、点 $Q$ は直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上にある。3点 $A, P, Q$ は同一直線上にないとする。このとき、$\triangle APQ$ の周の長さを最小にする点 $P, Q$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $B$ の座標を $(p, q)$ とおく。

線分 $AB$ の中点は $(\frac{1+p}{2}, \frac{1+q}{2})$ であり、これが直線 $y=2x$ 上にあるから、

$\frac{1+q}{2} = 2 \cdot \frac{1+p}{2}$.

よって、$1+q = 2(1+p)$ より、

$q = 2p + 1$. (1)

また、直線 $AB$ の傾き $\frac{q-1}{p-1}$ は直線 $y=2x$ の傾き 2 と垂直であるから、

$\frac{q-1}{p-1} \cdot 2 = -1$.

よって、 $2(q-1) = -p+1$ より、

$p = -2q+3$. (2)

(1)を(2)に代入して、

$p = -2(2p+1)+3 = -4p - 2 + 3 = -4p+1$.

$5p = 1$ より、 $p = \frac{1}{5}$.

$q = 2 \cdot \frac{1}{5} + 1 = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5}$.

よって、$B(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$.

(2) 点 $C$ の座標を $(r, s)$ とおく。

線分 $AC$ の中点は $(\frac{1+r}{2}, \frac{1+s}{2})$ であり、これが直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上にあるから、

$\frac{1+s}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1+r}{2}$.

よって、$1+s = \frac{1}{2}(1+r)$ より、

$2(1+s) = 1+r$ より、

$r = 2s+1$. (3)

また、直線 $AC$ の傾き $\frac{s-1}{r-1}$ は直線 $y=\frac{1}{2}x$ の傾き $\frac{1}{2}$ と垂直であるから、

$\frac{s-1}{r-1} \cdot \frac{1}{2} = -1$.

よって、$s-1 = -2r + 2$ より、

$s = -2r+3$. (4)

(3)を(4)に代入して、

$s = -2(2s+1) + 3 = -4s - 2 + 3 = -4s + 1$.

$5s = 1$ より、$s = \frac{1}{5}$.

$r = 2 \cdot \frac{1}{5} + 1 = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5}$.

よって、$C(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$.

(3) $\triangle APQ$ の周の長さ $AP + PQ + QA$ が最小になるのは、$AP+PQ+QA$ が $BPC + CPQ + QCA$ と同等になる時であり,これは$BP + PQ + QA$となる。直線$BC$と直線$y=2x$、y=1/2xの交点を求める。

周の長さを最小にするためには、点 $P$ は直線 $y=2x$ 上にあり、点 $Q$ は直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上にあるので、$AP+PQ+QA=BP+PQ+QC$を最小化すれば良い。

$AP+PQ+QA$は$BP + PQ + QC$に置き換わり、$BP+PQ+QC$を最小化するには点BとCを結ぶ直線と$y=2x$、$y=1/2x$との交点を求める。

直線 $BC$ の方程式を求める。

$\frac{y - \frac{7}{5}}{x - \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{5} - \frac{7}{5}}{\frac{7}{5} - \frac{1}{5}} = \frac{-\frac{6}{5}}{\frac{6}{5}} = -1$

$y - \frac{7}{5} = -x + \frac{1}{5}$

$y = -x + \frac{8}{5}$.

点 $P$ は直線 $y=2x$ 上にあるから、

$2x = -x + \frac{8}{5}$

$3x = \frac{8}{5}$

$x = \frac{8}{15}$.

$y = 2x = 2 \cdot \frac{8}{15} = \frac{16}{15}$.

よって、$P(\frac{8}{15}, \frac{16}{15})$.

点 $Q$ は直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上にあるから、

$\frac{1}{2}x = -x + \frac{8}{5}$

$\frac{3}{2}x = \frac{8}{5}$

$x = \frac{16}{15}$.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{15} = \frac{8}{15}$.

よって、$Q(\frac{16}{15}, \frac{8}{15})$.

3. 最終的な答え

(1) $B(\frac{1}{5}, \frac{7}{5})$

(2) $C(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$

(3) $P(\frac{8}{15}, \frac{16}{15})$, $Q(\frac{16}{15}, \frac{8}{15})$