三角形ABCにおいて、AB = $\sqrt{2}$, AC = $\sqrt{3}+1$, $\angle A = 45^\circ$である。辺CA上にCD = 2となる点Dをとる。また、Bから辺CAに下ろした垂線とCAとの交点をEとする。このとき、$AB^2$の値と$AC \cdot AD$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = $\sqrt{2}$, AC = $\sqrt{3}+1$, $\angle A = 45^\circ$である。辺CA上にCD = 2となる点Dをとる。また、Bから辺CAに下ろした垂線とCAとの交点をEとする。このとき、$AB^2$の値と$AC \cdot AD$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$AB^2$を計算します。

$AB = \sqrt{2}$なので、

$AB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

次に、$AD$の長さを求めます。$AC = \sqrt{3}+1$で、$CD = 2$なので、

$AD = AC - CD = (\sqrt{3}+1) - 2 = \sqrt{3} - 1$

最後に、$AC \cdot AD$を計算します。

$AC \cdot AD = (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)$

これは和と差の積の公式$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$を利用できるので、

$AC \cdot AD = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$

3. 最終的な答え

$AB^2 = 2$

$AC \cdot AD = 2$