直角三角形 $ABC$ において、$AB=5$, $BC=12$, $CA=13$ とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。 (1) 線分 $AD$ の長さを求めよ。 (2) $\angle A$ の二等分線と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち、点 $A$ と異なる点を $E$ とする。線分 $DE$ の長さを求めよ。 (3) $\triangle ABC$ の外接円の中心を $O$ とし、線分 $BO$ と線分 $AD$ の交点を $P$ とする。$AP:PD$ を求めよ。 (4) $\triangle ABC$ の内接円の中心を $I$ とする。$AI:ID$ を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形 $ABC$ において、$AB=5$, $BC=12$, $CA=13$ とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。

(1) 線分 $AD$ の長さを求めよ。

(2) $\angle A$ の二等分線と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち、点 $A$ と異なる点を $E$ とする。線分 $DE$ の長さを求めよ。

(3) $\triangle ABC$ の外接円の中心を $O$ とし、線分 $BO$ と線分 $AD$ の交点を $P$ とする。$AP:PD$ を求めよ。

(4) $\triangle ABC$ の内接円の中心を $I$ とする。$AI:ID$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より，$BD:DC = AB:AC = 5:13$ である。

$BC = 12$ であるから、$BD = 12 \times \frac{5}{5+13} = 12 \times \frac{5}{18} = \frac{10}{3}$

$CD = 12 \times \frac{13}{18} = \frac{26}{3}$

$\triangle ABD$ において余弦定理を用いる。

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB \cdot BD \cos B$

$\triangle ABC$ において $\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{12}$

$AD^2 = 5^2 + (\frac{10}{3})^2 - 2 \times 5 \times \frac{10}{3} \times \frac{5}{12}$

$= 25 + \frac{100}{9} - \frac{500}{36} = 25 + \frac{100}{9} - \frac{125}{9} = 25 - \frac{25}{9} = \frac{225-25}{9} = \frac{200}{9}$

$AD = \sqrt{\frac{200}{9}} = \frac{10\sqrt{2}}{3}$

(2) 円周角の定理より, $\angle ABE = \angle ACE$

$\angle CAE = \angle BAE$ なので, $\angle ABE = \angle CAE$

よって $BE = CE$

$\triangle ABC$ の外接円の半径は $CA/2=13/2 = 6.5$. 外心 $O$ は $BC$ の中点。

また $AE$ は $\angle BAC$ の二等分線なので $\angle BAE = 45^\circ$.

$DE=AD= \frac{10\sqrt{2}}{3}$

(3) $AP:PD$ を求める。

$\triangle ABP$ と $\triangle DBP$ について考える。

$AD$ は $\angle A$ の二等分線なので、角の二等分線の定理から、$BD:CD = AB:AC = 5:13$

$BD = 12 \times \frac{5}{5+13} = \frac{10}{3}$.

$\angle ABC = \angle DBC$ であり，$BO$ は外接円の中心と $B$ を結んだ線。

方べきの定理より,$BD \cdot DC = AD \cdot DP$, $BD \cdot DC = AD (AD - AP)$, $BP$ は角の二等分線ではない.

$AP:PD = (AB+AC):CD$.

$CD = 12 \times \frac{13}{18} = \frac{26}{3}$なので，$AP:PD= (5+13):\frac{26}{3} = 18: \frac{26}{3} = 54:26 = 27:13$.

(4) 内接円の中心を $I$ とする。$AI:ID$ を求める。

$AI:ID = (AB+AC):BD$

$AB+AC=5+13=18$

$BD=\frac{10}{3}$

$AI:ID = 18 : \frac{10}{3} = 54:10 = 27:5$

3. 最終的な答え

(1) $AD = \frac{10\sqrt{2}}{3}$

(2) $DE = \frac{10\sqrt{2}}{3}$

(3) $AP:PD = 27:13$

(4) $AI:ID = 27:5$