直角三角形ABCにおいて、AB=5, BC=12, CA=13とする。∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。 (1) 線分ADの長さを求めよ。 (2) ∠Aの二等分線と△ABCの外接円の交点のうち、点Aと異なる点をEとする。線分DEの長さを求めよ。 (3) △ABCの外接円の中心をOとし、線分BOと線分ADの交点をPとする。AP:PDを求めよ。 (4) △ABCの内接円の中心をIとする。AI:IDを求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、AB=5, BC=12, CA=13とする。∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。

(1) 線分ADの長さを求めよ。

(2) ∠Aの二等分線と△ABCの外接円の交点のうち、点Aと異なる点をEとする。線分DEの長さを求めよ。

(3) △ABCの外接円の中心をOとし、線分BOと線分ADの交点をPとする。AP:PDを求めよ。

(4) △ABCの内接円の中心をIとする。AI:IDを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分ADの長さを求める。

角の二等分線の定理より、BD:DC = AB:AC = 5:13。

よって、BD = 12 * (5 / (5 + 13)) = 12 * (5/18) = 10/3。

△ABDにおいて、余弦定理を用いる。

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 * AB * BD * cosB$

cosB = AB / BC = 5/13

$AD^2 = 5^2 + (10/3)^2 - 2 * 5 * (10/3) * (5/13)$

$AD^2 = 25 + 100/9 - 500/39$

$AD^2 = (25 * 39 * 9 + 100 * 39 - 500 * 9) / (9 * 39)$

$AD^2 = (8775 + 3900 - 4500) / 351$

$AD^2 = 8175 / 351 = 2725 / 117 = 25*109 / 9*13$

$AD = 5*\sqrt{109} / (3*\sqrt{13}) = (5\sqrt{109} \sqrt{13}) / (3*13)$

$AD = \frac{5\sqrt{1417}}{39}$

(2) 線分DEの長さを求める。

円周角の定理より、∠ACE = ∠ABE。また、∠DAE = ∠CAE。

したがって、△ADEと△ACEは相似である。

よって、AD/AE = AE/AC。

$AE^2 = AD * AC = \frac{5\sqrt{1417}}{39} * 13 = \frac{5\sqrt{1417}}{3}$

$AE = \sqrt{\frac{5\sqrt{1417}}{3}}$

ここで、∠BAE = ∠BCE = ∠CAEとなるため、BE=CE。

また、方べきの定理より、BD * DC = AD * DE。

$(10/3) * (12 - 10/3) = AD * DE$

$(10/3) * (36/3 - 10/3) = AD * DE$

$(10/3) * (26/3) = AD * DE$

$260/9 = AD * DE$

$DE = \frac{260}{9AD} = \frac{260}{9 * \frac{5\sqrt{1417}}{39}} = \frac{260 * 39}{45\sqrt{1417}} = \frac{260 * 13}{15\sqrt{1417}} = \frac{676}{3\sqrt{1417}}$

$DE = \frac{676\sqrt{1417}}{3*1417} = \frac{676\sqrt{1417}}{4251}$

(3) AP:PDを求める。

方べきの定理より、BD*DC = AD*DE。

また、ADは角の二等分線なので、BD/AB = DC/AC。

sin∠BAD = BD/AB。sin∠CAD = CD/AC。

△ABDの面積は(1/2)*AB*AD*sin∠BAD。△ACDの面積は(1/2)*AC*AD*sin∠CAD。

△ABD：△ACD=AB*BD：AC*DC = 5*10/3 : 13*(26/3) = 50 : 338 = 25 : 169

AP/PD = (AB+AC)/BC = (5+13)/12 = 18/12 = 3/2

(4) AI:IDを求める。

ADは角の二等分線なので、AI:ID = (AB+AC):BC = (5+13):12 = 18:12 = 3:2

3. 最終的な答え

(1) 線分ADの長さ: $\frac{5\sqrt{1417}}{39}$

(2) 線分DEの長さ: $\frac{676\sqrt{1417}}{4251}$

(3) AP:PD: 3:2

(4) AI:ID: 3:2