三角形ABCにおいて、$AB = 7$, $BC = 5$, $CA = 6$である。 (1) $\cos \angle CAB$と内積$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$を求める。 (2) $\angle CAB$の二等分線と辺BCの交点をDとする。$\overrightarrow{AD}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を用いて表し、$AD$の長さを求める。 (3) $k$を実数とし、点Eを$\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{AD}$を満たす点とする。三角形ABEの面積が14であるとき、$k$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 7$, $BC = 5$, $CA = 6$である。

(1) $\cos \angle CAB$と内積$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$を求める。

(2) $\angle CAB$の二等分線と辺BCの交点をDとする。$\overrightarrow{AD}$を$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$を用いて表し、$AD$の長さを求める。

(3) $k$を実数とし、点Eを$\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{AD}$を満たす点とする。三角形ABEの面積が14であるとき、$k$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理より、

$\cos \angle CAB = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{7^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 6} = \frac{49 + 36 - 25}{84} = \frac{60}{84} = \frac{5}{7}$

内積$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \angle CAB = 7 \cdot 6 \cdot \frac{5}{7} = 30$

(2) 角の二等分線の性質より、$BD : DC = AB : AC = 7 : 6$

よって、$\overrightarrow{AD} = \frac{6\overrightarrow{AB} + 7\overrightarrow{AC}}{7+6} = \frac{6}{13}\overrightarrow{AB} + \frac{7}{13}\overrightarrow{AC}$

$AD^2 = \left|\frac{6}{13}\overrightarrow{AB} + \frac{7}{13}\overrightarrow{AC}\right|^2 = \frac{1}{13^2} \left(36AB^2 + 84\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + 49AC^2\right)$

$= \frac{1}{169}(36 \cdot 49 + 84 \cdot 30 + 49 \cdot 36) = \frac{1}{169}(1764 + 2520 + 1764) = \frac{6048}{169} = \frac{36 \cdot 168}{169}$

$AD = \sqrt{\frac{6048}{169}} = \frac{\sqrt{6048}}{13} = \frac{\sqrt{36 \cdot 168}}{13} = \frac{6\sqrt{168}}{13} = \frac{6 \cdot 2\sqrt{42}}{13} = \frac{12\sqrt{42}}{13}$

(3) 三角形ABEの面積は$\frac{1}{2} AB \cdot AE \cdot \sin \angle BAE = \frac{1}{2} AB \cdot (kAD) \cdot \sin \angle BAD$.

三角形ABCの面積は、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ where $s = (a+b+c)/2$

$s = (7+5+6)/2 = 9$

$S = \sqrt{9(9-7)(9-5)(9-6)} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$

$\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC = 6\sqrt{6}$

$\sin \angle BAC = \frac{2 \cdot 6\sqrt{6}}{7 \cdot 6} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

$\triangle ABD = \frac{7}{13} \triangle ABC$

$\triangle ACD = \frac{6}{13} \triangle ABC$

$\overrightarrow{AE} = k \overrightarrow{AD}$ なので、三角形ABEの面積は$\frac{1}{2} AB \cdot AE \cdot \sin(\angle BAE) = \frac{1}{2} AB \cdot kAD \cdot \sin(\angle BAD)$.

$\triangle ABE = k \triangle ABD = k \cdot \frac{7}{13} \triangle ABC = k \cdot \frac{7}{13} \cdot 6\sqrt{6} = 14$.

$k = \frac{14 \cdot 13}{7 \cdot 6\sqrt{6}} = \frac{2 \cdot 13}{6\sqrt{6}} = \frac{13}{3\sqrt{6}} = \frac{13\sqrt{6}}{18}$

1. 最終的な答え

(1) $\cos \angle CAB = \frac{5}{7}$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 30$

(2) $\overrightarrow{AD} = \frac{6}{13}\overrightarrow{AB} + \frac{7}{13}\overrightarrow{AC}$, $AD = \frac{12\sqrt{42}}{13}$

(3) $k = \frac{13\sqrt{6}}{18}$