三角形OABにおいて、∠O=60°, OA=8, OB=5とする。OA=ベクトルa, OB=ベクトルbとするとき、以下の問いに答える。 (1) 辺ABの長さを求めよ。 (2) ベクトルOIをベクトルa, ベクトルbを用いて表せ。ただし、Iは三角形OABの内心である。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、∠O=60°, OA=8, OB=5とする。OA=ベクトルa, OB=ベクトルbとするとき、以下の問いに答える。

(1) 辺ABの長さを求めよ。

(2) ベクトルOIをベクトルa, ベクトルbを用いて表せ。ただし、Iは三角形OABの内心である。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて辺ABの長さを求める。

余弦定理より、

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos{\angle O}$

$AB^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos{60^\circ}$

$\cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$なので、

$AB^2 = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$

$AB = \sqrt{49} = 7$

(2) 内心の性質を利用する。

内心Iは三角形OABの内角の二等分線の交点であるから、AIは∠OABの二等分線、BIは∠OBAの二等分線である。

ベクトルOIは、ベクトルaとベクトルbの線形結合で表すことができる。

ベクトルOI = s * ベクトルOA + t * ベクトルOB（s, tは実数）

内心Iは角の二等分線上にあるので、

ベクトルOI = (OA * ベクトルOB + OB * ベクトルOA) / (OA + OB + AB) * (AB/(OA+OB))

ベクトルOI = (5 * ベクトルa + 8 * ベクトルb) / (8+5+7) * (7/(8+5))

ベクトルOI = (5 * ベクトルa + 8 * ベクトルb) / (20) * (7/13)

内分点の公式より、OI = (AB/ (OA + OB + AB)) OA + (OB/(OA+OB+AB)) OB

OI = (7/20) OA + (5/20) OB = (7/20) a + (5/20) b

ベクトルOIは、$ベクトルOI = \frac{5}{20+AB} \vec a+ \frac{8}{20+AB} \vec b$の形となる。

AI、BIは角の二等分線なので、OA, OB, ABの辺の比でベクトルOIを表せる。

ベクトルOI = $\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) AB = 7

(2) ベクトルOI = (1/4)ベクトルa + (2/5)ベクトルb